27.2.3 相似三角形应用举例 课件(共36张PPT) 2024-2025学年数学人教版九年级下册.pptx

27.2.3相似三角形应用举例

2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力（难点）1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度（重点）

据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.

又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.探究1利用相似三角形测量高度如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：∵太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.点拨不能直接到达金字塔的顶部和底部，考虑构造相似怎样测出OA的长？

表达式：物1高：物2高=影1长：影2长归纳测高方法一：2.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.1.太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平行光线3.此方法要求被测物体的底部可以到达（或可以间接求出其影长）

例1如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用于直接测量求AB长的等式是()A．B．C．D．C

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AFEBO┐┐想一想还可以有其他测量方法吗？OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面镜注：反射角与入射角相等是隐含条件.

归纳测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.

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例4如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．ABCD

E解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m．∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA:ED=1:1.2．∴AE=8m．∴AB=AE+EB=8+2=10(m)．∴学校旗杆的高度为10m.ABCD

探究2利用相似三角形测量宽度如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.PRQSbTa

PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90（m）.因此，河宽大约为90m.解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.PRQSbTa∴，即，还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？45m90m60m

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测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.归纳：”A”型“X”型

探究3利用相似解决有遮挡物问题1.与测量有关的概念：(1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点．(2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物体的视线间的夹角称为仰角．(3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区．

2.测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构造相似三角形．

3.测量方法：如图，观测者的眼睛C必须与标杆的顶端D和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要垂直，测量出标杆的高度DF，人眼离地面的高度CE，人与标杆的距离EF，标杆与物体的距离FG.利用相似三角形“对应边的比相等”的性质求物体的高度AG.

如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左