海南省2025届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题（含答案）.docx

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海南省2025届高三上学期学业水平诊断（一）数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=xx2?5x+4≤0，B=0,1,2,3,4,5

A.1,2,3 B.1,2,3,4 C.0,1,2,3 D.0,1,2,3,4

2.若复数z满足z+1i=2?i，则z=(????)

A.?1?2i B.1+2i C.?2i D.2i

3.若tanα=?4，则sinπ?αcos

A.4 B.14 C.?4 D.

4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记AB?的长为l，CD?的长为m，若l:m:AD=9:3:2，则扇环的圆心角的弧度数为(????)

A.3 B.2 C.2π3 D.

5.已知a0且a≠1，若函数fx=ax与gx=log2

A.0,12 B.12,1 C.

6.如图是函数fx=exax?1的大致图象，则不等式fx

A.?∞,12 B.?12,2

7.若函数fx=mx2+m?1?cosπx2

A.?∞,2 B.12,1 C.12

8.若函数fx=lnx+1x+a+2x的图象关于点(b,4)对称，且

A.?7 B.?5 C.?3 D.?1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.自然常数e=2.71828?是数学中非常重要的一个常数，17世纪人们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表示e来自数学家欧拉Euler的名字.已知函数fx=ex

A.?x∈R，fx=f?x

B.?x∈R，fx=?f?x

C.?x，y∈R，fx+y

10.已知α，β∈0,π2，若cosα?β=2

A.tanαtanβ=12 B.cosα

11.已知abc，若函数fx=ax+bx3+cx4的图象在点

A.b+c0 B.a+c0 C.c?bc?a1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知实数a，b满足ab=2，则a2+4b2的最小值为

13.已知函数fx的导函数为f′x=x，若gx=fsinx，g′x为

14.记函数fx在区间a,b上的最大值为maxx∈a,bfx，最小值为minx∈a,b

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数fx=Asinωx+φ

(1)求fx

(2)将fx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移π3个单位长度，得到gx的图象，求gx

16.(本小题15分)

已知函数fx

(1)求fx的图象在点e,f

(2)设函数gx=fx?12

17.(本小题15分)

甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过10?km．

(1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过10?km的天数为X，求X的分布列和数学期望．

(2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过10?km的天数比乙晨跑路程超过10?km的天数恰好多2”为事件M，求PM

参考数据：76=117649

18.(本小题17分)

已知直线y=x与抛物线C:x2=2pyp0交于O，E两点(O为坐标原点)，且OE=4

(1)求C的方程；

(2)求点E关于l的对称点P的轨迹方程；

(3)若l与C交于A，B两点(均异于点E)，直线EA，EB分别与直线y=?4交于点M，N，证明：OM⊥ON．

19.(本小题17分)

记数列an的前n项和为Sn，已知

(1)证明：an

(2)任意给定n∈N?，求满足3×2

(3)若bn=1log2a

参考答案

1.B?

2.D?

3.C?

4.A?

5.C?

6.D?

7.C?

8.A?

9.ABD?

10.BC?

11.AD?

12.8?

13.12或0.5

14.e22或

15.(1)

由图象知A=2．

因为fx的图象过点P0,?1，所以

又φπ2，所以φ=?

又fx的?图象过点Q7π12

所以ω=2.所以fx

(2)

由题意知gx

当x∈?π2

所以sinx+

则2sin

所以gx在区间?π2,0上的最小值为

?

16.(1)

由题意得f′x

则f′e

又因为fe=e2，所以fx

l与两个坐标轴的交点分别为Ae2,0

所求的封闭图形的面积为12

(2)

gx的定义域为(0,+∞)，因为g

即g′x

所以a≥ln

设?x=ln

当0x1e时，?’(x)0，?(x)单调递增，