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数量关系之容斥问题解题原理及⽅法

⼀、知识点

1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做

这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作并“”。A∪B读作“A

并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记

作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰：

例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）：

（⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）

原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏：

第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都包含“”进来，加在⼀起）；

第⼆步：减去∣A∩B∣（即排除“”加了两次的元素）

总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理⼆：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏：

第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；

第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；

第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣

⼆、例题分析：

例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10

B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6

A∩B={既是2的倍数⼜是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3

所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

解2：本题可直观地⽤图⽰法解答

如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部

分的数6,12,18是既是2的倍数⼜是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数⼀数集合A∪B中的数的个数即可。

例2某班统计考试成绩，数学得90分上的有25⼈；语⽂得90分以上的有21⼈；两科中⾄少有⼀科在90分以上的有38⼈。

问两科都在90分以上的有多少⼈？

解：设A={数学成绩90分以上的学⽣}

B={语⽂成绩90分以上的学⽣}

那么，集合A∪B表⽰两科中⾄少有⼀科在90分以上的学⽣，由题意知，

∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

现要求两科均在90分以上的学⽣⼈数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

点评：解决本题⾸先要根据题意，设出集合A，B，并且会表⽰A∪B，A∩B，再利⽤容斥原理求解。

例3某班同学中有39⼈打篮球，37⼈跑步，25⼈既打篮球⼜跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总⼈数是多

少？

解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学}

则A∩B={既打篮球⼜跑步的同学}

A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

应⽤容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（⼈）

例4求在不超过100的⾃然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？

分析：这个问题与前⼏个例题看似不相同，不能直接运⽤容斥原理，要计算的是既不是“