易错模型03 最值模型（八大易错分析+举一反三+易错题通关）.docx

易错模型03最值模型

易错集合

易错模型一：将军饮马模型

易错陷阱

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）

【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A关于直线m的对称点。

模型2.求多条线段和（周长）最小值

【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型

1）已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

2）已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。

举一反三

例1．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（）

A． B． C．2 D．

例2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为．

??

练习1．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（????）

A．3 B．5 C． D．

练习2．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点．且，分别与、相交于点E，F．若的半径为5，，点P是线段上任意一点，则的最小值是．

??

练习3．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．

易错题通关

1．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（）

A． B．3 C． D．

2．如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（????）

A．8 B． C．10 D．

3．如图，正方形中，点P是上一点，若，，则的最小值是．

??

4．如图，等边的边长为6，是边上的中线，M是上的动点，E是边上一点，若，求的最小值．

??

易错模型二：将军饮马模型（遛马造桥）

易错陷阱

模型1.将军遛马模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线m同侧：

图1图2

（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

模型2.将军过桥（造桥）模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】

【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2）．

问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．

图1图2图3

【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

图4图5图6

考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP