2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高三（上）期中数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高三（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线x24?y

A.y=x2 B.y=x C.y=2x

2.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是

A.直线AA1

B.直线AB1

C.直线A

3.设a≠0，b∈[0,2π).若关于x的等式sin(3x+b)=sin(ax+π5)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.已知函数f(x)=x3?3x的图像为曲线Γ.关于命题①“任取平面上的一点P，与曲线Γ关于点P对称的曲线Γ1总能表示函数”和命题②“存在倾斜角α∈(π4,π2)的直线l

A.①和②都是真命题 B.①和②都是假命题

C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.设x∈R，不等式|x?1|4的解集为______．

6.已知全集U={1,2,3,4}，A={2,4}，则A?=______．

7.已知复数z满足z(1?i)=4i(其中i是虚数单位)，则|z|=______．

8.设m，n∈R.若向量a=(3,1,?2)与向量b=(m,?2,n)平行，则m+n=______．

9.曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程为______．

10.(x+1x2)6

11.设a∈R，函数y=f(x)是奇函数.若f(1)=ea?3，f(?1)=1，则a=

12.设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn.若a9

13.设a∈R，函数f(x)=2x,x1,?x,x≤1.若关于x的方程

14.设a∈R.对于样本数据a，6，9，6，12，若该样本的第60百分位数是一个整数，则符合题意的a的个数为______．

15.在空间中，O是一个定点，已知圆锥上的所有点到O的距离都不超过1，则当该圆锥的体积取得最大值时，底面半径为______．

16.在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ1：x225+y216=1以及圆Γ2：x2+y2=4，若点A、

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=BD=AA1．

(1)

18.(本小题14分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=5．

(1)若A=π3，b=3c，求c；

(2)若A=π6，5csinB=3b，求

19.(本小题14分)

为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品.在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：

书签

明信片

手绘款

40

普通教

150

120

(1)设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张.记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件B：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算P(A)、P(B)，并判断事件A，B是否独立；

(2)设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？

20.(本小题18分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：x2=16y的焦点为F，过F的直线l与抛物线Γ及圆x2+(y?4)2=16的四个交点依次为A、C、D、B．

(1)若点A的纵坐标为1，求|AF|；

(2)证明|AC|?|BD|为定值，并求出该定值；

(3)过A、B分别作抛物线Γ的切线l1、l2，且

21.(本小题18分)

设函数y=f(x)的定义域为R.对于闭区间I，若存在x0∈I，使得对任意x∈I，均有f(x0)≥f(x)成立，则记Mf(I)=f(x0)；若存在x0∈I，使得对任意x∈I，均有f(x0)≤f(x)成立，则记mf(I)=f(x0).

(1)设f(x)=?x2+3x，分别写出Mf([0,2])及mf([0,2])；

(2)设n∈Z，f(x)=ex(x?2)2.若对任意闭区间I?(?∞,n]

参考答案

1.A?

2.C?

3.B?

4.C?

5.(?∞,?3)∪(5,+∞)?

6.{1,3}?

7.2

8.?2?

9.y=x?1?

10.15?

11.ln2?

12.75

13.[?1,2]?

14.3?

15.2

16.32

17.解