北京市第一零九中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4.docx

第PAGE页

2024北京一零九中高三（上）期中

数学

一、单选题

1.已知复数的共轭为，若，则的实部为（）

A.1 B. C. D.i

2.已知函数（其中）图象如图所示，则函数的图象是（）

A. B.

C. D.

3.在中，，，，则（）

A. B. C.或 D.无解

4.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）

A. B. C. D.

5.已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（）

A. B. C. D.

6.已知向量满足，且，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.设等比数列前项和为，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.如图所示，为双曲线：的左焦点，双曲线上的点与（）关于轴对称，则的值是（）

A.9 B.16 C.18 D.27

9.已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（）

A.圆上恰有一个点到直线的距离为 B.长的最小值为

C.四边形面积的最小值为2 D.直线恒过定点

10.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（）

A B. C. D.

二、填空题

11.已知向量，，则夹角的余弦值为_________．

12.在中，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程.

条件

①周长为10

②面积10

③中，

方程

则满足条件①轨迹方程为______；满足②的轨迹方程为______；满足③轨迹方程为______（用代号填入）.

13.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则________

14.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点．试求函数在区间上的“中值点”______．

15.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：

①函数是增函数；

②函数是奇函数；

③函数的值域为；

④对于任意实数，函数至少有一个零点.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题

16.已知中，.

（1）求的大小；

（2）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.

条件①；条件②；条件③.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

17.如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，M为PC上一点，且，，.

（1）证明：平面PAD；

（2）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值；

（3）求三棱锥的体积.

18.某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试，参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取.本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试.八项测试的平均分为该学生的综合成绩，满分为100分.测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在内为“优秀”，为“良好”，为“及格”，为“不及格”，下表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：

男生

98

92

92

91

90

90

88

87

87

85

82

79

77

67

57

女生

97

99

96

93

92

91

90

87

85

81

80

77

76

76

48

（1）分别求出该学校男?女生综合成绩的优秀率；

（2）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若表示抽取3人中的女生人数，求的分布列及其数学期望；

（3）在（2）的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时，请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩.

19.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．

20.已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中