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《全等三角形的性质与判定的综合运用(第二课时)》教案

教学目标

教学目标：1.熟练掌握全等三角形性质和判定；

2.能分析已知条件和待证结论，添加简单的辅助线构造全等三角形，或从复杂的几何图形中分离出简单的几何图形证全等.

教学重点：分析已知条件和待证结论，选择合适的判定方法证明两个三角形全等．

教学难点:基于已知条件推导出全等条件，选择合适的判定方法证明两个三角形全等.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

3min

复习导入

同学们，大家好！上节课我们进行了补全全等条件的练习，我们通过审题，明确题目已知的边角条件，再添加一个适当的图形关系条件，判定两个三角形全等.这节课，我们要更进一步，不再是直接添加，而是要深入挖掘题目已知，推导出缺失的条件.

20min

例题讲解

接下来，通过例题我们一起学习如何基于已知条件推导出全等条件，并运用三角形全等的性质和判定来解决问题.

例1.已知：如图1，AB∥CD，∠1=∠2，O为AD中点，EF、AD交于点O.求证：O为EF的中点.

图1

图1

分析：首先，我们根据题干标图

其次，再看要证什么，需要证明什么

要证

要证O为EF的中点

即证

即证OF=OE

需证

需证△OFD≌△OEA

已知的条件可否直接证明△OFD≌△OEA？如果不够还缺少什么？

已知

已知OA=OD

∠

∠FOD=∠EOA

还缺少∠

还缺少∠FDO=∠EAO

题目中还有什么条件没用到？如果用上可否找到我们需要的

∠FDO=∠EAO？

已知

已知AB∥CD，∠1=∠2

∠

∠CDA=∠BAD，∠1=∠2

∠

∠CDA-∠1=∠BAD-∠2

即

即∠FDO=∠EAO

可以找到缺少的条件，问题可以解决.最后我们看本题的具体推理过程.

证明：∵AB∥CD,

∴∠CDA=∠BAD.

又∵∠1=∠2,

∴∠CDA-∠1=∠BAD-∠2.

即∠FDO=∠EAO.

∵O为AD的中点,

∴OA=OD.

在△OFD和△OEA中,

∴△OFD≌△OEA（ASA）.

∴OF=OE.

∴O是EF的中点.

例2.如图2，在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点.求证：PA=PD.

图2

图2

分析：根据题干标图

要证PA=PD，可证△ABP≌△DBP或者△ACP≌△DCP，不妨先试证△ABP≌△DBP，题目中已知∠1=∠2且有隐含条件BP=BP，还缺边AB=DB即可证明，如何得到AB=DB呢？如果不能直接看出来，现在可以结合已知条件∠1=∠2，∠3=∠4且有隐含条件BC=BC，ASA易得△ABC≌△DBC，进而可得AB=DB，问题迎刃而解.我们一起整理本题的推理过程.

证明：在△ABC和△DBC中,

∴△ABC≌△DBC.

∴AB=DB.

在△ABP和△DBP中,

∴△ABP≌△DBP（SAS）.

∴PA=PD.

例3.如图3，AB=AE,∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：点F是CD的中点.

图3

图3

分析：请同学们根据题干标图，

要证点F是CD的中点，需证CF=DF,同学们知道三角形全等是证明两线段相等的重要方法，本题中并没有三角形，我们该怎么办？连接AC、AD可以构造三角形.

现在请同学们尝试分析本题，我们一起写推理过程.

证明：连接AC、AD.

在△ABC和△AED中,

∴△ABC≌△AED（SAS）.

∴AC=AD.

∵AF⊥CD.

∴∠AFC=∠AFC=90°.

在Rt△AFC和Rt△AFD中,

∴Rt△AFC≌Rt△AFD（HL）.

∴CF=DF.

∴点F是CD的中点.

例4.如图4，点A,B,C,D在一条直线上，且AB=CD，若∠1=∠2，EC=FB．求证：∠E=∠F.

图4

图4

分析：依据题干标图：

要证∠E=∠F，需证△AEC≌△DFB，已知AB=CD则AB+BC=CD+BC,即AC=BD；已知∠1=∠2，∠ABC=∠BCD=180°则∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠DBF=∠ACE；又知EC=FB，SAS可证明△AEC≌△DFB，问题得以解决.

证明：∵AB=CD,

∴AB+BC=CD+BC.

即AC=BD.

∵∠ABC=∠BCD=180°，∠1=∠2,

∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2.

即∠DBF=∠ACE.

在△AEC和△DFB中,

∴△AEC≌△DFB.