2025年中考数学总复习压轴解答题题组练(一).docxVIP

压轴题题组练(一)

(针对中考第26～27题)

(时间：30分钟满分：22分)

1．(10分)某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

(1)【模型建立】如图①，在等边三角形ABC中，P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边三角形APQ，连接CQ.求证：BP＝CQ.

(2)【模型应用】如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰三角形APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ.判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由．

(3)【模型迁移】如图③，在正方形ADBC中，P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为12，CQ＝4eq\r(2)，求正方形ADBC的边长．

（1）证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AQ，

∠BAC＝∠PAQ＝60°，

∴∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAQ，∴∠BAP＝∠CAQ，

∴△BAP≌△CAQ(SAS)，∴BP＝CQ.

（2）解：∠ABC＝∠ACQ.理由：∵△ABC和△APQ都是等腰三角形，

AB＝BC，AP＝PQ，

∴∠BAC＝eq\f(1,2)(180°－∠ABC)，∠PAQ＝eq\f(1,2)(180°－∠APQ)，

∵∠APQ＝∠ABC，

∴∠BAC＝∠PAQ，∴△BAC∽△PAQ，∴eq\f(BA,AC)＝eq\f(PA,AQ)，

∵∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAQ，

∴∠BAP＝∠CAQ，∴△BAP∽△CAQ，∴∠ABC＝∠ACQ.

(3)解：连接AB.∵四边形ABCD是正方形，∴eq\f(AB,AC)＝eq\r(2)，∠BAC＝45°，

∵Q是正方APEF的中心，∴eq\f(AP,AQ)＝eq\r(2)，∠PAQ＝45°，

∴∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAQ，

∴∠BAP＝∠CAQ，∵eq\f(AB,AC)＝eq\f(AP,AQ)＝eq\r(2)，

∴△ABP∽△ACQ，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(CQ,BP)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，

∵CQ＝4eq\r(2)，∴BP＝eq\r(2)CQ＝8，设PC＝x，则BC＝AC＝8＋x，

在Rt△APC中，AP2＝AC2＋PC2，即122＝(8＋x)2＋x2，

解得x＝－4±2eq\r(14)，

∵x＞0，∴x＝－4＋2eq\r(14)，

∴正方形ABCD的边长为8＋x＝8－4＋2eq\r(14)＝4＋2eq\r(14).

(12分)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，

B(3，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，抛物线与y轴交于点C，P为线段OC上一点(不与端点重合)，直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求eq\f(S1,S2)的值；

(3)如图②，K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，Q是直线l上一动点．求QM＋QN的最小值．

解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.

(2)设P(0，p)，易得直线AP为y＝px＋p，直线BD为

y＝－eq\f(p,3)x＋p，

联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝px＋p，,y＝－x2＋2x＋3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－p，,y＝－p2＋4p，))

∴E(3－p，－p2＋4p)．

联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,3)x＋p，,y＝－x2＋2x＋3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p－3,3)，,y＝－\f(p2,9)＋\f(4p,3)，))

∴D(eq\f(p－3,3)，－eq\f(p2,9)＋eq\f(4p,3))，

S1＝S△ABD－S△ABP＝eq\f(1,2)AB·(yD－yP)＝2(－eq\f(p2,9)＋eq\f(4p,3)－p)＝eq\f(2,9)(3p－p2)，

S2＝S△ABE－S△ABP＝eq\f(1,2)AB·(yE－yP)＝2(－p2＋4p－p)＝2(3p－p2)，

∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,9).

易得直线MN为y＝kx－k，设M(m，－m2＋2m＋3)，

N(n，－n2＋2n＋3)，

联立eq\b\l