2025年广东中考数学题型专练精准破译专练9　解答题之圆的综合题.pptxVIP

专练九解答题之圆的综合题2025年广东中考数学题型专练精准破译

类型1圆与三角形综合1．(2024·大庆改编)如图，△ABC为☉O的内接三角形，AB为☉O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在☉O上.连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作☉O的切线交BP于点G.(1)求证：AG∥CD.证明：由折叠的性质，可得AB⊥CD.∵AG是☉O的切线，∴AG⊥AB.∴AG∥CD.

(2)一题多解求证：∠GAD＝∠ACD.进一步可证AG平分∠PAD证明：解法一：∵AG是☉O的切线，∴∠GAB＝90°，即∠GAD＋∠DAB＝90°.∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°.∴∠GAD＝∠ABD.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠GAD＝∠ACD.解法二：由折叠的性质，得AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.∵AG∥CD，∴∠GAD＝∠ADC.∴∠GAD＝∠ACD.

(3)求证：PA2＝PG·PB.遇到线段乘积的条件如何分析？①化为比例式；②找线段所在三角形→证相似；△PGA∽△PAB③更复杂的，若线段不在某一个三角形中，找与之相等或存在倍数关系的线段→转化到三角形中证两个三角形相似?

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证明两直线平行的方法：(1)根据平行线的判定方法证明(同位角相等或内错角相等或同旁内角互补)，通过角度的等量代换或找相等(或互补)的角；(2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.证明两角相等的方法：(1)利用平行线的性质；(2)同角或等角的余角(补角)相等；(3)等边对等角；(4)证全等或相似；(5)利用圆周角定理；(6)利用圆内接四边形的性质.

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(2)延长GD至点M，使DM＝DG，连接AM.①求证：AM是☉O的切线；?

②若DG＝6，DF＝5，求☉O的半径.?

证明两条线段相等的方法：(1)若两条线段在一个三角形中→等角对等边；(2)若两条线段在两个三角形中→证两个三角形全等；(3)若两条线段共线→等腰三角形“三线合一”或“直角三角形斜边中线等于斜边一半”；(4)若两条线段在特殊四边形中→特殊四边形的性质.求线段长的方法：(1)作辅助线有直角三角形，利用勾股定理求长度；(2)若无直角三角形，考虑相似三角形或锐角三角函数；(3)若有特殊角(30°，45°，60°或15°，22.5°，75°等)，或出现三角函数(sinα，cosα，tanα)，考虑锐角三角函数.

类型2圆与四边形综合(含动圆)3．一题多解(2023·广东)综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A.连接AA交BD于点E，连接CA.(1)求证：AA⊥CA.证明：∵点A关于BD的对称点为A，∴AE＝AE，AA⊥BD.∵四边形ABCD是矩形.∴OA＝OC.∴OE∥AC.∴AA⊥CA.解法二(直角三角形斜边中线或四点共圆)：连接OA，则OA＝OA＝OC，易证△AAC为直角三角形(或点A在以点O为圆心，OA长为半径的圆上)，∠AAC＝90°

?证明：设☉O与CD相切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G，如解图1所示.∴OF⊥CD，OF＝OE.?

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②如图3，☉O与CA相切，AD＝1，求☉O的面积.解：设☉O与CA相切于点H，连接OH，如解图2所示.∴OH⊥CA.?

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4．(2024·绥化)如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的☉O与AD相切于点E，与AC相交于点F.(1)求证：AB与☉O相切.证明：连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，如图1所示.∵AD是☉O的切线，∴OE⊥AD.在正方形ABCD中，AC平分∠BAD，又∵OG⊥AB，∴OE＝OG.∴OG为☉O的半径.∵OG⊥AB，∴AB与☉O相切.

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?解：解法一：连接FN，ON，如图2所示.∵CM∶FM＝1∶4，设CM＝k，则CF＝5k.∴OC＝ON＝2.5k.∴OM＝OC－CM＝1.5k.

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5．(2024·广州)如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°.点E在射线BC上运动(不与点B，C重合)，△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.(1)当∠BAF＝30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由.解：AF＝AD，AF⊥AD，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝120°.∵△ABE和△AFE关于AE对称，∴AB＝AF.∴AF＝AD.∵∠BAF＝30°，∴∠DAF＝∠BAD－∠BAF＝90°.∴AF⊥AD.∴AF＝AD，AF⊥AD.

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?提示：连接AC，则∠AFE＝∠ACE＝60°，即A，E，C，F四点共圆，从而将△AEF的外接圆转化为△ACF的外接圆

②连接FD，直线FD能否与☉O相切？如果能，求BE的长度