广东省广州市奥林匹克中学2024~2025学年高三上学期期中考试数学试卷.docx

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广东省广州市奥林匹克中学2024~2025学年高三上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则的子集个数为（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设是公差为正数的等差数列，若，，则（????）

A．12 B．35 C．75 D．90

4．的展开式中，常数项为（???）

A． B． C． D．10

5．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（）（注：一丈=10尺=100寸，）

A．300立方寸 B．305.6立方寸 C．310立方寸 D．316.6立方寸

6．双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（????）

A． B． C． D．

7．函数及，则及的图象可能为（????）

A． B．

C． D．

8．在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（???）

A．

B．若，则为等腰直角三角形

C．若，则的面积为

D．若为锐角三角形，的最小值为1

10．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述结论正确的是（???）

A．在有且仅有3个极大值点

B．在有且仅有2个极小值点

C．在单调递减

D．的取值范围是

11．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（???）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是.

13．A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是.

14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为.

四、解答题

15．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

16．如图，在三棱柱中，与的距离为，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若点N是棱的中点，求直线AN与平面所成角的正弦值.

17．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)讨论极值点的个数.

18．已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，

（1）求的坐标和椭圆的焦距；

（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；

（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

19．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．

(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；

(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；

(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

B

B

D

A

B

C

AB

AD

题号

11

答案

ABD

1．B

【解析】先计算，再计算其子集的个数即可.

【详解】因为，，

，子集为，，，共个，

故选：B

2．A

【分析】求出，即得解.

【详解】由题得，

所以，

复数z对应的点为，在第一象限.

故选：A

3．B

【解析】求出首项和公差后可得．

【详解】设公差为，则，∵，故解得，

∴．

故选：B．

4．B

【分析】利用二项式定理展开式直接计算可求得结果.

【详解】根据