2024-2025学年高中数学微专题系列练习-第一章函数的基本概念和性质专题六函数的奇偶性微点1函数的奇偶性（一）【基础版】.docx

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函数微专题

第一章函数的基本概念和性质

专题六函数的奇偶性

微点1??函数的奇偶性（一）【基础版】

函数奇偶性是函数的重要性质之一，一直是高考的重点考查内容，常常与对称性、单调性、周期性、函数图象、函数零点和不等式等知识相结合进行考查，最常见的题型是选择题、填空题，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．

本节介绍函数奇偶性的基本概念、奇偶函数的图象与性质、判断函数奇偶性的常用方法，以及常见题型及其解题方法．

一、函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．

奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．

知识点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）在定义域中，那么在定义域中吗？具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）的等价形式为：，

的等价形式为：；

（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；

（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．

二、奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．

三、判断函数奇偶性的常用方法

1．定义法

若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．

2．验证法

在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．

3．图象法

奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．

4．性质法

两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．

四、用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；

（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．

若，则是奇函数；

若=，则是偶函数；

若，则既不是奇函数，也不是偶函数；

若且，则既是奇函数，又是偶函数．

五、分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．

六、函数奇偶性的常用结论

（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．

（2）奇偶函数的图象特征．

函数是偶函数函数的图象关于轴对称；

函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．

（3）若奇函数在处有意义，则有；

偶函数必满足．

（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．

（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．

（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．

对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．

（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．

类型一定义法判断函数的奇偶性

【典例1】判断下列函数是否具有奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

【解析】（1）函数的定义域为，

∵，

∴函数为奇函数；

（2）函数的定义域为，

∵，

∴函数为偶函数；

（3）函数的定义域为，

∵，

∴，

∴函数是非奇非偶函数；

（4）∵函数的定义域为，不关于原点对称，

∴函数是非奇非偶函数．

【举一反三】

1．已知函数对任意都有，判断函数的奇偶性，小明同学的解法如下：

∵，∴定义域关于原点对称．

又∵，∴或，

∴为奇函数或偶函数．

请判断小明的上述解法是否正确？若不正确，请举出一个反例．

【典例2】判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称，

又，

∴为偶函数．

（2）函数的定义域为，关于原点对称，且，

又，，

∴既是奇函数又是偶函数．

（3）函数的定义域为，不关于原点对称，

∴是非奇非偶函数．

（4）