备战2025年中考数学必刷真题考点分类专练（全国）专题13二次函数综合问题（共40题）【解析版】.pdf

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题13二次函数综合问题

一．解答题（共40小题）

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1．（2022•孝感）抛物线y＝x﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．

（1）直接写出点B和点D的坐标；

（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；

（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），

连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S和S，求的最大值．

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【分析】（1）令y＝x﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x﹣4x化作顶点式可得出

点D的坐标；

（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的

交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证

△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，则DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，

设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，则8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出点G的

坐标，进而可得直线DG的解析式，令y＝0即可得出点P的坐标；

（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S＝QK（x﹣x），S＝MN（x

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﹣x），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．

E

2

【解析】（1）令y＝x﹣4x＝x，

解得x＝0或x＝5，

∴B（5，5）；

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∵y＝x﹣4x＝（x﹣2）﹣4，

∴顶点D（2，﹣4）．

（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，

∴DE＝2，OE＝4，

∴tan∠ODE＝，

作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂

线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，

∴△ODE≌△ODG（AAS），

∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，

∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°，

∴∠DGF＝∠GOH，

∴△GDF∽△OGH，

∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2，

设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，

∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°，

∴四边形OEFH是矩形，

∴OH＝EF，

∴8﹣4t＝2+t，解得t＝，

∴GH＝，OH＝2+t＝，

∴G（，﹣）．

∴直线DG的解析式为y＝x﹣，

令y＝0，解得x＝5，

∴P（5，0）．

（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，

∴M（﹣1，5）．

如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，

∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，

∵点Q横坐标为m，

2

∴Q（m，m﹣4m），K（m，m），

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∴KQ＝m﹣（m﹣4m）＝﹣m+5m．

∵S＝QK（x﹣x），S＝MN（x﹣x），

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∴＝＝﹣（m﹣5m）＝﹣（m﹣）+，

∵﹣