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2024年高考数学几何历年真题答案详解

一、题目：已知△ABC中，∠BAC=90°，D为BC边上一点，且

BD=BC/3，设∠BAD=α，∠ACD=β，求证：sinα/cos²β=3.

解析：

1.这道题是一个几何证明题，目的是要证明一个等式关系。

2.题目中给出了△ABC中的一些已知条件，我们需要利用这些条

件进行推导。

3.首先，根据题目描述，我们可以得知∠BAC=90°，即△ABC

是一个直角三角形。

4.根据BD=BC/3，我们可以得到CD=2BC/3。

5.由于∠BAC=90°，所以∠BCA=90°-∠BAC=90°-90°=0°。

6.根据三角函数的定义，我们知道sinα=BD/AD，cosβ=CD/AD。

7.将BD和CD代入上述两个等式中，得到sinα=BC/3AD，cosβ

=2BC/3AD。

8.将sinα和cosβ代入要证明的等式中，得到sinα/cos²β=

(BC/3AD)/(2BC/3AD)²=(BC/3AD)/(4BC²/9A²D²)=3A²D²/4BC³。

9.接下来，我们需要证明3A²D²/4BC³=3。

10.将∠BAC=90°代入三角形△ABC的余弦定理，得到BC²=

AC²+AB²。

11.将BC²代入3A²D²/4BC³的等式中，得到3A²D²/4(AC²+AB²)=

3。

12.经过化简，得到A²D²=AC²+AB²，这是一个已知条件满足的

等式。

13.由此可见，要证明的等式成立，即sinα/cos²β=3。

二、题目：已知在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，

且AE:EC=1:2，BF:FA=1:3，求证：∠DEF=90°。

解析：

1.这道题目是一个几何证明题，我们需要证明一个角度的度数。

2.题目中给出了△ABC中的一些已知条件，我们要利用这些条件

进行推导。

3.首先，根据题目描述，我们可以知道在△ABC中，AD⊥BC，

DE⊥AC，DF⊥AB。

4.根据垂直的性质，我们得知△ADE、△BDF和△CDF都是直

角三角形。

5.根据AE:EC=1:2，我们可以得到CE=2AE。

6.同样地，根据BF:FA=1:3，我们可以得到AF=3BF。

7.由于△ADE、△BDF和△CDF都是直角三角形，所以我们可

以利用三角形的性质来推导。

8.首先，由于AD⊥BC，所以∠BAC=90°。

9.然后，根据AE:EC=1:2，得到AE/EC=1/2，利用相似三角形

的性质，可以得到△ADE∽△ABC。

10.类似地，根据BF:FA=1:3，得到BF/FA=1/3，利用相似三角

形的性质，可以得到△BDF∽△ABC。

11.由于△ADE∽△ABC和△BDF∽△ABC，我们可以得到

△ADE∽△BDF。

12.根据相似三角形的性质，我们知道∠DAE=∠BDF。

13.同理，根据△CDF∽△ABC，我们可以得到∠DAC=∠DCF。

14.由此可见，∠DAE=∠BDF=∠DAF+∠FAB=∠DAC+

∠CAF+∠FAB=∠DAC+∠DCF+∠FAB=∠DEF。

15.综上所述，我们可以得出结论：∠DEF=90°。