专题6.10一线三等角模型相似三角形综合问题大题专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典（解析版）【苏科版】.pdfVIP

2021-2022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】

专题6.10一线三等角模型相似三角形综合问题

大题专项提升训练（重难点培优）

姓名：__________________班级：______________得分：_________________

一、解答题（共24题）

1．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝

60°，2BP＝3CD，BP＝1．

（1）求证△ABP∽△PCD；

（2）求△ABC的边长．

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：

∠BPA＝∠PDC，从而可得结论；

2=3,=1===

（2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，

解方程即可得到答案．

【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，

∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，

∴∠BPA＋∠DPC＝120°

∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，

∴∠DPC＋∠PDC＝120°，

∴∠BPA＝∠PDC，

∴△ABP∽△PCD；

（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，

2

∴=，

3

∵△ABP∽△PCD

∴=

，

设==，则=―1，

1

∴2=,

1

3

2

∴=―1,

3

∴=3,

经检验：=3是原方程的解，

所以三角形的边长为：3．

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判

定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．

2．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠=∠=∠=90°时，求证：⋅=⋅

．

（2）探究

若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．

（3）应用

△=2∠=45°△

如图3，在中，2，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在

AC上，点F在BC上，且∠=45°，若=5，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）=5

【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的

性质即可解决问题；

（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即

可解决问题；

（3）先证△ABD∽△DFE，求出DF=4，再证△EFC∽△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．

【详解】（1）证明：如题图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP＋∠APD=90°，∠