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八年级上数学竞赛辅导--非常规题例解(教师版)

非常规题例解

数学竞赛中，我们经常遇到与课本习题很大不同的一类题，它很难归人初中数学某一知

识点，按照常规的解题方法很难获解．我们姑且称它为非常规题．它以思想深刻与方法

巧妙为其显著特征．解题时更需要敏锐的观察、判断和推理能力．现举例介绍一些解这类题

的思考方法．

例1国际象棋比赛中，共8名选手进行单循环比赛，每赛一局胜者得1分。负者得0

分，平局各得0．5分．赛完后，发现各选手得分都不相同，当选手得分由大到小排列了名

次后，第4名选手得分4．5分，第2名选手得分等于最后四名选手得分的总和．前三名选

手各得几分?说明理由．

87

解：8名选手共赛了28局，共28分．若前三名选手得分分别为a,a,a，那么

2123

根据题意应有aaa4.5a28，即a2aa23.5①

1232123

注意到每局得分只有0、0.5、1三种情形，可见2a是整数，由①式知a、a中一个是整数，

213

另一个是小数．由于得分最多是7分，所以7aaa4.5

123

又由①式知4a23.5,4a23.5，即a5.875,a5.875.

1313

所以7a6,6a5.于是a5或5．5．

133

当a5时，a只能是小数，所以a6.5,由①式得2a12，故a6.

31122

当a5.5时，a只能是整数，所以a7，

311

由①式得2a11，故a5.5，与a相等了，不合题意．

223

综上所述，前三名得分分别是6．5分，6分，5分．

例2将1～8这八个数放在正方体的八个顶点上，使任一面上

四个数中任意三数之和不小于10．求各面上四数之和中的最小值．

解情形1：这个面上出现数1，设其余三个数为a，b，c．

因为ab,bc,ca互不相同，且依题意加1之和不小于

abbcca

10，这样,,这三个数至少不小于9，10，11．

故(ab)(bC)(ca)91011,

即abc15.加上1之后，四个数之和≥16．

情形2：这个面上不出现l．显然依题意这个面上不能同时出现2，3，4，

因为234910.

于是这些数至少有2，3，5，6，而2+3+5+6=l6．

故四数之和的最小值为l6．具体作图如图

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例3在一个边长为l2的正方形中，有一组直线段，使得从这个正方形中的每一点到

最近的直线段的距离至多是l．求证：这些线段的总长度超过70．

证明：设有n条直线段，第i条直线段长为x0，以x为中位线作一个高为2的长

ii

方形(如图)．当对每一