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09导数大题综合

1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数.

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)当时，证明：只有一个零点.

【答案】(1)在上单调递增，上单调递减；极大值，无极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间,求出函数的最小值,结合函数的零点个数求出的范围即可.

【详解】（1）当时，，

由得，，由得，或

∴在上单调递增，上单调递减，

∴在处取得极大值，无极小值.

（2）∵，

∴

由，得，或

①当时，，在上单调递增

∵，

∴，故在上有唯一零点

②当时，得或

∴在上单