第07讲 函数性质的综合应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）.docxVIP

第07讲函数性质的综合应用

【人教A版2019】

模块一

模块一

函数的单调性与最值

1．函数单调性的判断

(1)定义法；

(2)图象法；

(3)简单函数单调性；

(4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；

(5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

2．函数单调性的应用

函数单调性的主要应用有以下几个方面：(1)利用函数的单调性求参数；

(2)利用函数的单调性比较大小；

(3)利用函数的单调性解不等式.

3．利用函数的单调性求参数的方法

(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.

(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.

需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

4．利用函数的单调性比较大小的方法

利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.

5．利用函数的单调性解不等式的方法

解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.

6．求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

【题型1函数的单调性的综合应用】

【例1.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数fx=?x2?ax?5,x≤1a

A．?∞,?2 B．?∞,0 C．

【例1.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数fx在3,+∞上单调递减，且fx的图象关于直线x=3对称，则a=f0.2，

A．abc B．bca C．cba D．bac

【变式1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，当x0时，f(x)1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4?3x)6的解集为（????

A．1,+∞ B．2,+∞ C．?∞，

【变式1.2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在0,+∞上的函数fx满足：对?x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x1?x2

【题型2函数的最值问题】

【例2.1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数fx=x2?1,x≤1ax

A．112,+∞

C．112,1

【例2.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数f(x)=x+4x(x0)，记该函数在区间[t?1,t](t1)上的最大值与最小值的差值为g(t)，则g(t)

A．17?2 B．1 C．13

【变式2.1】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知函数fx=?2x2+bx+c

(1)求实数b?c的值；

(2)设0mn，若当m≤x≤n时，fx的最小值为1n，最大值为1m，求m

【变式2.2】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f(x)=x

(1)写出函数f(x)的单调区间（不要证明）；

(2)解不等式f(x)≥3；

(3)求函数f(x)在[?m,m]上的最大值和最小值．

模块二

模块二

函数的奇偶性及其应用

1．函数的奇偶性

(1)定义：

定义

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.

非奇非

偶函数

既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.

定义域

特征

定义域必须是关于原点对称的区间.

等价

形式

设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数?x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数?x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.

(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）

①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

③奇偶函数的结论：奇函数