多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法之欧阳语创编 .pdfVIP

多面体外接球、内切球半径常见

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的种求法

时间:2021.03.01创作：欧阳语

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上那么称这个多

Z

面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外

接球的问题，是立体几何的一个重点也是高考考查的一个热点•研

z

究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知

识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关

系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作

甩

公式法

例一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知

1

该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为？/底面

周长为,则这个球的体积为.

3

O

解设正六棱柱的底面边长为X,高为〃，则有

6x=3,1

_A=-,

\f3』••

9_22

=6xx

[iT^kvs.

・••正六棱柱的底面圆的半径「球心到底面的距离d=#・

4,

・•・外接球的半径R=47^心¥•

=1・•••

小结本题是运用公式疋求球的半径的”该公式

是求球的半径的常用公式.

多面体几何性质法

例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为

4，体积为16,则这个球的表面积是

A.16^B・20;C・24/rD・32/r

T

解设正四棱柱的底面边长为八夕卜接球的半径为R,则有4x2

=16,解得兀=2・

2

2R=yj22尽.•.!=

22・・••这个球的表面积是

+2+4=

=24兀.选C・

小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直

径〃这一性质来求解的.

补形法

例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为书.则其外

接球的表面积是.

解据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直，.••把这个三棱

锥可以补成一个棱长为点的正方体,于是正方体的外接球就是三棱

锥的外接球.

设其外接球的半径为R,则有

町同同冏・・・・疋=专.

（2=（+（+（=9

故其外接球的表面积S=4叔=9兀・

小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分

别为厶b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方

体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设

其外接球的半径为斥”则有2R“f・

寻求轴截面圆半径法

例正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为迈,点B、C、

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