数学建模课件-投资的收益与风险.pptVIP

*1998年竞赛A题:投资的收益与风险市场上有n种资产(如股票、债券，……）Si(i-=1,2,…,n)供投资选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi，考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然不付费），另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险(r0=5%)。1、已知n=4时的相关数据如下406.52.625S4524.55.523S319821.521S210312.528S1uiPi(%)qi(%)ri(%)Si试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算1317.62315S153284.55.39.4S142672.74635S133205.75.59S121955.13111.8S112482.94036.8S104752.753.333.6S92203.133.431.2S81785.66840.7S73973.43914S62707.61.28.1S55491.54223.9S44286.06049.4S34073.25418.5S21812.1429.6S1ui(元）pi(%)qi(%)ri(%)Si一、模型的假设（1）设公司的可用投资资金M=1（2）设对每一种股票（债券）Si的投资额为xi（3）公司将资金存入银行也看作一种投资方式S0，其收益率为r0，风险损失率为q0=0，交易费率p0=0（4）公司的各种投资方式之间互不影响，互相独立，且只有5种投资方式。二、模型的建立（1）购买Si的金额为xi，所需要的交易费为Ci(xi)对Si的投资的净收益为：风险：所需资金：因此，整个投资方案的收益、风险、所需要的资金为：（2）建立优化模型根据题意，表述为多目标最优化问题为（3）将上述多目标模型化为单目标模型，按不同的思路可化为如下四种模型1）固定风险，求收益最大模型Ⅰ或2）固定盈利水平，求风险最小模型Ⅱ3）投资者对风险、收益有一定的相对偏好参数ρ0模型Ⅲ4）确定收益与风险比最大ρ0模型Ⅳ三、模型的求解（1）对于模型Ⅰ的求解，（将非线性规划化为线性规划）化简，因为当M相当大，所以一般对项目Si的投资额xi会超过最低限ui，所以交易费可简化为:模型简化为：这是一个线性规划问题，对于给定的k，可以方便地求解，例如，有如下求解结果：K=0.05,x1=0.99,xj=0,(j=2,3,4,0)K=0.01,x1=0.4,x2=0.584,xj=0,(j=3,4,0)K=0.005,x0=0.158,x1=0.2,x2=0.333,x3=0.09,x4=0.129由此看出，风险要求越小，投资越分散。对于模型Ⅱ—Ⅳ，由于，因此，模型Ⅱ—Ⅳ均为非线性规划，且Q(x)为非光滑函数，难以用软件求解，我们按如下方法来简化。以模型Ⅲ为例1）将模型Ⅲ化为n个线性规划LP(k),k=1,2,…，nn个Lp(k)最优值中最小的一个所对应的解即为模型Ⅲ的最优解*