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奔驰定理

奔驰定理【A】知识点

(1)奔驰定理（点P在三⾓形ABC内部）

(2)奔驰定理（点P在三⾓形ABC外部）

(3)推论

ⅰ、点P是三⾓形ABC的重⼼（三边中线的交点）

ⅱ、点P是三⾓形ABC的内⼼（三个⾓平分线的交点）

ⅲ、点P是三⾓形ABC的垂⼼（三条⾼线的交点）

ⅳ、点P是三⾓形ABC的外⼼（三边中垂线的交点）

【B】例题讲解

例1、设G是ABC?的重⼼，且0)sin35()sin40()sin56(=++CBA，则⾓B的⼤⼩为_______

例2、若点O在ABC?的内部，且053ρ

=++，则ABC?的⾯积与AOC?的⾯积之⽐是________.

例3、若点O在ABC?的内部，且02ρ=++m，

7

4

=??ABCAOBSS，则实数m=_________.

例4、（2016清华⼤学⾃主招⽣）若点O在ABC?的内部，2:3:4::=AOCBOCAOBSSS,设µλ+=，则实数

λ=_____，µ=_____.

例5、（2018绍兴⾼三5⽉卷15）已知ABCΔ的外接圆的圆⼼为O，且ο

60∠=A，若)∈β,α(βαR+=，则βα+的最⼤值是__________

【C】能⼒提升

1、已知ABC?中，I为内⼼，,4,3,2===ABBCAC且yx+=,则，则yx+的值为______.

2、设P是ABC?所在平⾯上⼀点，且满⾜)0(,43=+mm，若ABP?的⾯积为8，则ABC?的⾯积是_______.

3、在ABC?中，HBCACAB,2,3,4===为ABC?的垂⼼，yx+=，则x

y

=______.

4、(齐鲁名校协作体)已知G是ABC?的重⼼，点NM,分别在边ACAB,上，满⾜

yx+=,1=+yx，若,4

3

=

则ABC?和AMN?的⾯积之⽐是____________.

5、正三⾓形ABC内⼀点M，满⾜nm+=，ο

45=∠MCA，则

n

m

=______________.

6、(吉林实验中学⾼三四模)已知ABC?的外接圆O的半径为1，且BCBABOµλ+=，若ο

60=∠ABC，则µλ+的最⼤值是________.

7、(2018⾼⼀数学竞赛)已知点O是锐⾓ABC?的外⼼，3

π

=∠A，且yx+=，则yx-2的取值范围

是_______________.

【D】三⾓形四⼼问题补充

1、已知点O是ABC?所在平⾯内⼀点，满⾜2

2

2

2

2

2

||||||||||||ABOCCAOBBCOA+=+=+,则点O是ABC?的_____⼼。

2、已知点O是平⾯上⼀定点，CBA、、是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜

),0[),(

+∞∈+

+=λλ，则点P的轨迹通过ABC?的______⼼

3、已知点O是ABC?所在平⾯内⼀点，动点P满⾜：(+

+=λ

其中),0(+∞∈λ,则动点P的轨迹⼀定通过ABC?的______⼼。

4、已知点O是ABC?所在平⾯内⼀点，动点P满⾜：sin||sin||(2

2

ACB

ACABCAB∠?∠?+=λ

其中),0(+∞∈λ,则动点P的轨迹⼀定通过ABC?的______⼼。

5、已知向量OCOBOA,,满⾜条件：0OAOBOC++=uuuruuuruuurr

，且2||||||===OCOBOA，点P是ABC?内⼀动点，则

=?+?+?CPCABPBCAPAB__________