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平面几何四个重要定理
四个重要定理：
梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线)
Z1ABC的三边BC、CA.AB或其延长线上有点P、Q、R,
则P.Q、R共线的充矣条件是———=loPCQARB
塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点)
厶ABC的三边BC.CA.AB上有点P、Q、R,则AP、BQ、
心充+喘喘糾。
托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充妥条件是该四
边形内接于一圆。
例题：
1.设AD是4ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求.AE
2AF证：=__OA
EDFB
【分析】CEF裁OABD—=1(梅氏定理)
EDCBFA
【评注】也町以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行
线。
2.过-ABC的重心G的直线分别交AB.AC于E、F,交CB于
wd
A
Do
占r.BE亠CF.】
2甄+冠i°
【分析】连结并延长AG交BC于M,则M为BC的中点。
DEG—=1（梅氏定理）
EAGMDB
DGF截AACM-餐•害曽£=1（梅氏定理）
FAGMDC
BECFGM・（DB+DC）GM-2MD
•___+__—_______________________
=
EAFAAGMD201-MD【评注】梅氏定理
3.D、E、F分别在AABC的BC、CA、AB边上，
RDAFCF
「
——=——=——=AD.BE、CF交成
ZiLMNoDCFBEA
求S_LMNo
【分析】
4.以厶ABC©边为底边向外作相似的等腰4BCE、乙CAF、
【评注】梅氏定理
AABGo求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5.已知AABC中，ZB=2ZCo求证：AC?二AB?+AB・BC°
..wd
【分析】过A作BC的平行线交AABC的外接圆于D,连结BD。则CD=DA=AB,AC=BD
0
由扌毛勒密定理,AC・BD=AD・BC+CD・
AB。
【评注】托勒密定理
6.已知正七边形22ZZ44。
求证：+—!—o（第“届全苏数学竞界）A|A•AjAjAj
【分析】
【评注】托勒密定理
7.AABC的BC边上的高AD的延长线交外接罔于P,作PE丄AB于
E,延长ED交AC延长线于F。
求证：BC・EF=BF・CE+BE・CF
0
【分析】
【评注】西姆松定理（西姆松线）
正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点
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