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专题进阶课五变力做功和机车启动问题

学习任务一变力做功的计算

【核心归纳】

方法

以例说法

微元

法

质量为m的木块在水平面内做圆周运动,运动一周克服摩擦力做功Wf=f·Δx1+f·Δx2+f·Δx3+…=f(Δx1+Δx2+Δx3+…)=f·2πR

平均

力法

弹簧由伸长x1被继续拉伸至伸长x2的过程中,克服弹力做功W=kx1+kx22·(

图像

法

水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0,图线与横轴所围“面积”表示拉力所做的功,即W=12F0x

转化

法

通过转换研究对象把变力转化为恒力做功,Δl=l1-l2=h(1sinα-1sinβ),WT=WF=FΔl=Fh(

【典题例析】

角度1微元法求变力做功

【典例1】水平桌面上,长6m的轻绳一端固定于O点,如图所示(俯视图),另一端系一质量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N,F拉着物体从M点运动到N点,F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,则下列说法正确的是()

A.拉力F对小球做的功为16π(J)

B.拉力F对小球做的功为8π(J)

C.小球克服摩擦力做的功为16π(J)

D.小球克服摩擦力做的功为4π(J)

【解析】选A。将圆弧分成很多小段l1,l2,…,ln,拉力F在每小段上做的功为W1,W2,…,Wn,因拉力F大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以W1=Fl1cos37°,W2=Fl2cos37°…,Wn=Flncos37°,故:WF=W1+W2+…+Wn=Fcos37°(l1+l2+…+ln)=Fcos37°·πR3=10×0.8×π3×6(J)=16π(J),故A正确,B错误;同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·πR3=8π(J),

【对点训练】

在水平面上有一弯曲的槽道AB,由半径分别为R2和R的两个半圆构成。如图所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点,若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同,则此过程中拉力所做的功为(

A.0B.FRC.32πFRD.2π

【解析】选C。小球受到的拉力F在整个过程中大小不变,方向时刻变化,是变力。但是,如果把圆周分成无数微小的弧段,每一小段可近似看成直线,拉力F在每一小段上方向不变,每一小段上可用恒力做功的公式计算,然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、l2、…、ln,拉力在每一段上做的功W1=Fl1、W2=Fl2、…、Wn=Fln,拉力在整个过程中所做的功W=W1+W2+…+Wn=F(l1+l2+…+ln)=F(π·R2+πR)=32πFR。故选

角度2平均作用力求变力做的功

【典例2】(2024·合肥高一检测)用铁锤把小铁钉钉入木板,设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进深度d,如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同,那么,第二次钉子进入木板的深度为()

A.(3-1)d B.(2-1)d C.(5-1)d2

【解析】选B。铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功,由于阻力与深度成正比,可用阻力的平均值求功,根据题意可得W=F1d=kd2d,W=F2d=kd+k(d+d)2d,联立解得d=(2-1)

【对点训练】

静置于水平地面上质量为1kg的物体,在水平拉力F=4+2x(式中F为力的大小、x为位移的大小,力F、位移x的单位分别是N、m)作用下,沿水平方向移动了5m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2,取重力加速度g=10m/s2,则在物体移动5m的过程中拉力所做的功为()

A.35J B.45J C.55J D.65J

【解析】选B。水平拉力F=4+2x,则当物体移动5m时拉力的平均值为F=4+4+2×52N=9N,则拉力所做的功W=Fx=9×5J=45J,故选B

角度3利用F-x图像求变力做的功

【典例3】(2024·长沙高一检测)木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁,每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比,木匠砸击4次,就把一枚长为L的钉子全部砸进木梁,那么他第1锤将铁钉砸进木梁的深度是()

A.L4 B.L2 C.3

【解析】选B。作出钉子所受阻力与进入深度的关系图

可知在钉子被砸进木梁的前一半深度与后一半深度过程中,阻力做功之比为1∶3,由题意可知,每