初中数学浙教版（2024）七年级上册：3.1 平方根-教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

七年级

学期

秋季

课题

3.1平方根

教学目标

1.通过实例经历平方根概念的形成过程，会用根号正确表示平方根和算术平方根，发展抽象能力；

2.经历平方根的相关事实的探究过程，能自主归纳发现数学规律，发展推理能力；

3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求平方根和算术平方根，发展运算能力；

4.能反思和总结学习的方法，体会代数学习的一般观念。

教学重难点

教学重点：

平方根、算术平方根的概念和求法。

教学难点：

平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，同时出现了新的符号表示.

教学过程

（一）呈现情景，提出问题

问题1跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞前，下降的高度d（米）和下降的时间t（秒）之间满足关系式d=5t2(不计空气阻力）。你能算出跳伞运动员在打开降落伞前下降875米需要的时间吗？

师生活动：学生阅读问题，并思考可以转化为怎样的数学问题。已知d=5t2以及d=875，代入可得5t2=875，等式两边除以5得t2=175，那怎么求t呢？这需要引入一种新的数，研究一种新的运算。

问题2我们已经学习过哪些运算？它们中哪些运算是互为逆运算？乘方有没有逆运算？

师生活动：教师引导学生回顾思考，已学过加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算。加法与减法互逆；乘法与除法互逆。乘方有没有逆运算？逆运算是什么？提出本节课学习主题——研究平方运算的逆运算。

设计意图：通过情景设计，让学生意识无法用已学过的知识解决，需引入乘方逆运算。提出本节课的研究主题。

（二）任务驱动，尝试探究

乘方运算中最典型的是平方运算，我们不妨从平方运算开始探究。比如已知正方形的边长为3，你会求它的面积吗？

追问1:你是怎么想的？

追问2：已知正方形的边长求面积可以转化为怎样的数学问题？

师生活动：因为正方形的面积是等于边长的平方，所以面积等于3的平方，等于9。“已知边长，求面积”可以转化为“已知一个数是x，求数x的平方”。这是平方运算。

问题3反之，已知正方形的面积分别为25，你能求它的边长吗？如果面积为1.44呢？

追问1:你是怎么想的？

追问2：那么已知正方形的面积，求边长的问题可以转化为怎样的数学问题？

师生活动：就是想哪个正数的平方等于25、1.44？“已知面积，求边长”可以转化为“已知一个数的平方等于a，求这个数”。这是平方运算的逆运算。

追问3:一张正方形桌面的面积为1.44m2，它的边长为多少米？除了1.2的平方等于1.44，不考虑实际意义，还有什么数的平方也等于1.44？

师生活动：学生回答，还有-1.2的平方也等于1.44，那么（±1.2）2=1.44，那么我们把1.2和-1.2叫做1.44的平方根，即1.44的平方根是±1.2；类似的，因为（±5）2=25,那么±5就叫做25的平方根，即25的平方根是±5。

设计意图：让学生在回答的过程中感受一个正数的平方根有两个，进而对平方根有一定的感性认识，为抽象平方根的概念做铺垫。

（三）抽象归纳，获取新知

问题4怎样对这种平方运算的逆运算及其结果进行一般化的定义？

师生活动：教师引导学生概括：一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

设计意图：从正方形的边长与面积关系引出平方运算与平方的逆运算，给出平方根概念，从特殊到一般，有助于概念的感悟。

（四）理解概念，探求性质

问题5请说出下列各数的平方根：

（1）49；（2）；（3）0。

师生活动：学生口述，教师规范板书解答。

设计意图：通过练习巩固平方根概念，为引出平方根的相关事实作准备。

追问1：-4有平方根吗？为什么？

师生活动：有学生可能会回答-4有平方根是-2，教师引导用平方根的定义去检验是否正确。也有学生说-4没有平方根，让说明原因。

追问2：根据以上结果，关于数的平方根，你能发现什么结论？

师生活动：学生通过观察练习中的结果归纳出：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

设计意图：通过具体实例得出平方根的相关事实，发展学生的抽象能力和归纳能力。

追问3：2的平方根呢，怎么表示？

师生活动：我们找不到哪个有理数的平方等于2，所以需要引入一种新的符号来表示2的平方根。

规定：一个正数a的正平方根用表示（读作“根号a”）；a的负平方根用表示（读作“负根号a”），那么合起来，一个正数a的平方根就用表示（读作“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。

追问4：被开方数a的取值范围是什么？

师生活动：因为负数没有平方根，所以a为非负数，即a≥0.

例如：49的平方根可以记作，即；同样的平方根记作：，即；2的平方根可以表示为：.

由此求一个数的平方根的过程可以推广为：如果x2