4_9.4 抛物线（十年高考）备战2025高考数学一轮复习.docx

9.4抛物线

考点1抛物线的定义及标准方程

1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=()

A.7B.6C.5D.4

答案D由抛物线C:y2=8x知F(2,0),准线方程为x=-2,

由M到直线x=-3的距离为5,知M到直线x=-2的距离为4.由抛物线定义可知|MF|=4.

2.(2022全国乙,理5,文6,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()

A.2B.22

答案B由题意可知,F(1,0),准线方程为x=-1,设Ay024,y0,由抛物线定义可知|AF|=y024+1,又|BF|=3-1=2,所以由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1

一题多解:由题意可知F(1,0),所以|BF|=2,又|AF|=|BF|,所以|AF|=2,所以A的横坐标为1,此时A的纵坐标为2或-2,所以AF⊥x轴,所以△AFB为等腰直角三角形,所以|AB|=22,故选B.

3.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()

A.|BF|

C.|BF|+1

答案A过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,

则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.

可知S△BCFS△ACF=12·|CB

4.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=()

A.72B.3C.5

答案B∵FP=4FQ,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则|QM||FN|=|PQ||PF|

5.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0

A.1B.2C.4D.8

答案A由y2=x得2p=1,即p=12,因此焦点F14,0,准线方程为l:x=-14,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+14=54x0,

评析本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A到准线的距离是解题的关键.

6.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

答案C∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+p2=5得M5?p2,2p5

∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=122p5?p2,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y2

7.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()

A.y=x-1或y=-x+1

B.y=33(x-1)或y=-3

C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)

D.y=22(x-1)或y=-2

答案C设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B作AA1,BB1垂直于准线于A1,B1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得|BC||AB|

∴|BC|=2t,∴∠B1CB=π6,∴直线l的倾斜角α=π3或

又F(1,0),∴直线AB的方程为y=3(x-1)或y=-3(x-1).故选C.

8.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()

A.22B.23C.4D.25

答案B由题意可设抛物线方程为y2=2px(p0).

由|MF|=p2+2=3得p=2,∴抛物线方程为y2

∴点M的坐标为(2,±22),∴|OM|=4+8=23，故选B.

9.(2011课标文,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为