特级教师高考数学首轮复习第16讲-函数模型及其应用 .pdfVIP

特级教师高考数学首轮复习第

16讲-函数模型及其应用

来源：591UP

一、知识结构

二、重点叙述

1.函数模型及应用的界定：

函数模型及应用问题是指有实际意义或实际背

景的函数问题,建立相应函数模型,解函数模型,

解答函数实际应用问题。这需要掌握函数拟合思

想,在理解题意的基础上,把实际问题拟合转化

为相应的函数问题,再根据问题要求求解。

2.函数建模方法：

3.函数建模的步骤：

审题、建模、解模、回归。

①审题:理解题意,把握问题本质。审题的突破口

在于阅读与转译,应用题题目篇幅长,信息容量

大,涉及知识点多,划分好层次是审题的关键。在

审题过程中,注意领会关键词语.领会定义的内

涵和外延;重视条件转译,注意将条件公式化、符

号化、图形化,使条件和结论相互靠拢;与图形有

关的问题应注意数形结合,弄清题图联系。

②建模:分析题中的数量关系,建立相应函数模

型,将实际应用问题转化为函数问题。

③解模:用函数的知识与方法求解函数模型,得

到数学结论,解决转化了的函数问题。

④回归:将求得的数学结论还原回实际问题,检

验结果的实际意义,给出正确答案。

4.常见函数模型：

常见函数模型一般地有分式函数模型,线性函数

模型,二次函数模型,分段函数模型,指数、对数

函数模型、三角函数模型等,解决涉及费用最省、

面积、体积最大、利润最大等问题。

5.应用

Ⅰ、利用给定的函数模型解决涉及函数值、取值

范围、最值等实际相关问题;

学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的

掌握程度，正实数a与学科知识有关。

(1)证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值

区间分别为,,。当学习某学科知识6次时，掌握

程度是85%，请确定相应的学科。

分析：可用函数是分段函数，按照自变量x取值

的不同要求（即与）选择不同的对应关系，

分别按不同题意解决。

证明：（1）当

而当，函数是单调递增

的，且0，

故当单调递减，

当，掌握程度的增长量总是下降。

（2）当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，

则

0.1+15ln=0.85，整理得，

解得。

所以，相应的学科是乙学科。

案例3：甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速

行驶到乙地，速度不得超过ckm／h，已知汽车

每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和

固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平

方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)

的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速

度行驶．

分析：(1)抓住关系式：全程运输成本=单位时间

运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全

程距离)÷(平均速度)就可以解决．

解：(1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为,

全程运输成本为

∴所求函数及定义域为:

(2)依题意S，a，b，v都是正数，故有

当且仅当，时，上式等号成立。

①若，则存在时，全程运输成本最小。

②若，则不存在。这时要利用函数单调

性的方法求全程运输成本的最小值。

设任取，使得，则

，

由于，则

∴，即。

∴当，