浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx

2024学年第一学期宁波五校联盟期中联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．

1.下列直线中，倾斜角最大的是（）

A B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得.

【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，

直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，

显然直线的倾斜角最大.

故选：C

2.已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（）

A B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解.

【详解】设设点D的坐标为，

由题意得

，

因为四边形是平行四边形，所以，

所以，解得，

故选：A

3.如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得.

【详解】在平行六面体中，E为BC的中点，

所以.

故选：B

4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.

【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，

又由双曲线的离心率为，有，

可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.

故选：B.

5.若直线与直线互相垂直，则的最小值为（）

A. B.3 C.5 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由两直线垂直得关系后转化为函数求解，

【详解】因为直线与直线互相垂直，

所以，化简得，

所以，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5，

故选：C

6.已知双曲线的左?右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（）

A. B. C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】，根据条件表示出，，则可表示出，进而可得离心率.

【详解】如图，令，由，得，

又，则，

即，又由，得，

，

故选：D.

7.已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为，利用点到直线距离公式，结合圆的弦长公式可得：，运算求解即可.

【详解】设双曲线的半焦距为，

则，解得：，

且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为，

因为圆的圆心为，半径，

可知圆关于轴对称，不妨取渐近线为，即，

则圆心到渐近线的距离，可得：.

又因为圆与双曲线的一条渐近线相交弦长为，

由题意可得：，解得：.

综上可得：的取值范围是.

故选：B

8.已知曲线，则下列结论中错误的是（）

A.曲线与直线无公共点

B.曲线关于直线对称

C.曲线与圆有三个公共点

D.曲线上的点到直线的最大距离是

【答案】D

【解析】

【分析】分类讨论方程表示曲线的类型，画出曲线的图象，再逐项判断.

【详解】当时，曲线方程为，表示圆的一部分，

当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，

当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，

其图象如图所示：

A.因为是等轴双曲线的渐近线，曲线与直线无公共点，故正确；

B.将方程中的互换后方程不变，所以曲线关于直线对称，故正确；

C.圆的圆心为，

又，即当时，

曲线与圆相切，所以有三个公共点，故正确；

D.作与直线平行的直线与曲线切于点上的点到直线的最大距离是，故错误；

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知向量，则下列结论正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.的最大值2 D.为钝角，则

【答案】AB

【解析】

【分析】A.利用空间向量垂直坐标运算求解；B.利用空间向量共线坐标运算求解；C.利用空间向量的模的坐标运算求解；D.若为钝角，由且，不反向共线求解.

【详解】A.若，则，解得，故正确；

B.当或时