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立体几何中的化归思想

2012.11.29

一．教学目标：

1.了解翻折是将平面转化为立体、展开是将立体转化平面，它们是相反的两个过程；

2.了解分割与补形可以将复杂几何体转化成简单几何体；

3.掌握翻折问题的解题技巧，表面上最短问题的解题技巧，割补法的应用技巧.

二．知识梳理：

（一）空间与平面的转化（展开与折叠）

1.直棱柱的侧面展开图是.

2.正棱锥的侧面展开图是.

3.圆柱的侧面展开图是.

4.圆锥的侧面展开图是.

（二）复杂与简单转化（分割与补形）

1.能改变底面的简单几何体有：.

2.一个三棱柱能分割为个等体积的三棱锥.

3.一个三棱柱能补形为个平行六面体.

（三）陌生与熟悉转化

1.球的内接长方体对角线长与球的直径.

2.球的内切正方体的棱长等于球的.

3.过同一点的三条棱两两垂直的四面体可以补形为以

这三条棱为长、宽、高的.

4.正四体可以补形为以此六棱为面的对角线的

.

三．典例分析：

题型一.翻折问题

已知直角梯形ABCD中，AB//CD，ABBC，

AB1，BC2，CD13，过A作AECD，垂足为

E，G、F分别为AD、CE的中点，现将ADE沿AE折叠，

使得DEEC.

（1）求证：BC面CDE；（2）求证：FG//面BCD；

（3）在线段AE上找一点R，使得面BDR面DCB，

并说明理由.

1

变式训练：

RtABCAC6BC3ABC90CDACB

如图1所示，在中，，，，为的

平分线，点E在线段AC上，CE4.如图2所示，将BCD沿CD折起，使得平

面BCD平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点.

（1）求证：DE平面BCD；

（2）若EF//平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥

BDEG的体积.

题型二.侧面展开问题

例2.长方体ABCDABCD中，长、宽、高分别为4、3、5，现有一个小虫从A

1111

出发沿长方体表面爬行到C来获取食物，则其爬行路程的最小值是.

1

变式训练：

圆锥母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线SA上一点B，AB2cm，那么由A

点绕圆锥侧面一周到B的最短矩离为.

2

题型三.割补法

例3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方体，EF//AB，

3

EF，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积.

2

变式训练：

如图，三棱柱ABCABC中，已知侧面ABBA的面积为S，