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⾼中数学竞赛讲义（五）──数列

⾼中数学竞赛讲义（五）

──数列

⼀、基础知识

定义1数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和⽆穷数列

两种，数列{a}的⼀般形式通常记作a,a,a,…，a或a,a,a,…，a…。其中a叫做数列的

n123n123n1

⾸项，a是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

n

定理1若S表⽰{a}的前n项和，则S=a,当n1时，a=S-S.

nn11nnn-1

定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有a-a=d（常数），则{a}称为等差数

n+1nn

列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为

d,则a=b-d,c=b+d.

定理2等差数列的性质：1）通项公式a=a+(n-1)d；2）前n项和公式：S=

n1n

；3）a-a=(n-m)d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，

nm

则a+a=a+a-；5）对任意正整数p,q，恒有a-a=(p-q)(a-a)；6）若A，B⾄少有⼀个不为

nmpqpq21

2

零，则{a}是等差数列的充要条件是Sn=An+Bn.

n

定义3等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a}称为等⽐数列，q叫做公⽐。

n

n-1

定理3等⽐数列的性质：1）a=aq；2）前n项和S，当q1时，S=；当q=1

n1nn

时，S=na；3）如果a,b,c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a,c的等⽐中项；4）若

n1

m+n=p+q，则aa=aa。

mnpq

定义4极限，给定数列{a}和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(n∈N),都

n

有|a-A|，则称A为n→+∞时数列{a}的极限，记作

nn

定义5⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a}的公⽐q满⾜|q|1，则称之为⽆穷递增等⽐数

n

列，其前n项和S的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

n

定理3第⼀数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成⽴；（2）当p(n)时n=k成⽴时能

推出p(n)对n=k+1成⽴，则由（1），（2）可得命题p(n)对⼀切⾃然数n≥n成⽴。