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第三节随机变量及其概率分布第七章水文统计面试人：余航

第三节随机变量及其概率分布水文统计是以数理统计为工具的上节内容：

1概率只适用与古典型随机试验，但，水文事件不一定具备此性质。2频率对于水文现象可将频率值作为概率的近似值。3概率加法Ｐ(Ａ＋Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)AB独立4概率乘法Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ／Ａ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ａ／Ｂ)

一、随机变量

随机变量是表示随机试验结果的数量表示，随机变量可分为两大类型：离散型随机变量，连续型随机变量。

二、随机变量的概率分布

定义：随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，一般将这种关系称之为随机变量的概率分布，

二、随机变量的概率分布

1离散型随机变量概率分布：其中，Pn为随机变量X取值Xn(n=1,2,…)的概率，满足〔1〕Pn≥0(n=1,2,…)〔2〕∑Pn=1(n=1,2,…)

二、随机变量的概率分布

2连续型随机变量分布函数水文统计中通常研究事件X≥x的概率。事件X≥x的概率P〔X≥x〕随变量x的变化而变化，是x的函数，这个函数称为随机变量X的分布函数，记为F〔x〕，即

F〔x〕＝P〔X≥x〕在水文统计学上称此为随机变量的累积频率曲线，简称频率曲线。

二、随机变量的概率分布

2连续型随机变量概率密度函数由概率加法定理，随机变量X落入区间[x,x+Δx]的概率P〔x＋Δx＞X≥x〕＝F〔x〕－F〔x＋Δx〕因此，对平均概率密度求极限得F(x)一阶导数，令，f(x)称概率密度函数。所以，分布函数与概率密度函数关系为：

f(x)xxp密度函数与概率分布函数关系F(x)〔%〕xF〔x〕pf(x)F(x)

三、随机变量的分布参数概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统计规律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率分布某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字称为随机变量的统计参数。

???统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文计算中常用的样本统计参数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。

1.均值

?均值表示系列样本值大小情况。设某水文变量的观测系列〔样本〕为x1,x2，…,xn，那么其均值为:

2.均方差均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度。研究系列集中或离散程度，常采用方差或均方差，计算公式为5，10，15=4.081，10，19=7.35

均方差对频率曲线的影响σ1≤σ2

令,称模比系数，为无量纲相对值那么:

3．变差系数〔离差系数，离势系数〕

例如:甲地区的年雨量分布，＝1200mm，均方差σ1＝360mm；乙地区的年雨量分布，＝800mm，均方差σ2＝320mm。尽管σ1＞σ2，但是＞，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。

采用一个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为变差系数甲地降雨量Cv=0.3；乙地降雨量Cv=0.4因此，变差系数反响的是一种相对离散程度。

4．偏态系数〔偏差系数〕

反映分布是否对称的特征CS参数，记为

用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对EX对称，CS＝0；假设不对称，当正离差的立方占优时，CS＞0，称为正偏；当负离差的立方占优势时，CS＜0，称为负偏。

Cs＞0Cs＝0Cs＜0Cs对密度曲线的影响

5．矩

〔1〕原点矩

随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望E〔Xr〕，称为随机变量X的r阶原点矩，即离散型随机变量，r阶原点矩为：连续型随机变量，r阶原点矩为：

〔2〕中心矩随机变量X对分布中心E(X)离差的r次幂的数学期望，称为随机变量X的r阶中心矩。离散型：连续型：矩为以后的参数估计提供帮助与实现手段

小结：1定义了随机变量的概念以及分类。2学习了随机变量的概率分布函数以及概率密度函数。3计算了随机变量的统计参数，均值、均方差