第6讲 五心问题(奔驰定理)(解析版) .pdfVIP

第6讲五心问题（奔驰定理）

一．选择题（共11小题）

1．已知的内角A、B、的对边分别为、、，为内一点，若分别

ABCCabcOABC

满足下列四个条件：

①aOAbOBcOC0

②tanAOAtanBOBtanCOC0

③sin2AOAsin2BOBsin2COC0

④

则点O分别为ABC的()

A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心

C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心

【解析】解：先考虑直角三角形，可令，，，

ABCa3b4c5

可得，，，设O(m,n)，

A(0,4)B(3,0)C(0,0)

①，即为，，，，，

aOAbOBcOC03(m4n)4(3mn)(00)

即有12m120，12n120，解得mn1，

即有到，轴的距离为1，在角的平分线上，且到的距离也为1，

OxyOBCAAB

则O为ABC的内心；

③sin2AOAsin2BOBsin2COC0，

2424

即为，，，，，

(m4n)(3mn)(00)

2525

3

可得32m0，42n0，解得m，n2，

2

5

由|OA||OB||OC|，故O为ABC的外心；

2

④，可得，，，，，

(mn)(mn)(00)

4

即为33m0，43n0，解得m1，n，

3

213

由的中点为，，|OB|，即分中线比为，

ACD(0,2)|DB|13ODB2:3

3

故O为ABC的重心；

考虑等腰三角形，底角为，

ABC30

设，，，，

C(1,3)B(2,0)A(0,0)O(x,y)

②tanAOAtanBOBtanCOC0，

33

即为3(x，y)