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MonteCarlo仿真设计

报告介绍：利用类似于Buffon投针的试验，使用matlab进行蒙特卡罗模拟。加深对伯努利大数定律的理解，并通过图像描述精度较高的概率，以及解释依概率收敛的含义。

一．MonteCarlo仿真方法的根本思想及其特点

MonteCarlo仿真方法又称统计试验法，它是一种采用统计抽样理论近似地求解数学、物理及工程问题的方法。它解决问题的根本思想是，首先建立与描述该问题有相似性的概率模型，然后对模型进行随机模拟或统计抽样，再利用所得的结果求出特征量的统计值作为原问题的近似解，并对解的精度作出某些估计。MonteCarlo仿真方法的主要理论根底是概率论中的大数定律，要主要手段为随机变量的抽样分析。

MonteCarlo仿真方法的特点如下：

〔1〕MonteCarlo仿真分析是通过大量而简单的重复抽样实现的，故计算方法和程序结构都很简单；

〔2〕收敛的概率性和收敛速度与问题的维数无关；

〔3〕适应性强，受问题条件限制的影响较小；

〔4〕收敛速度较慢，不宜用来解决精度要求很高的实际问题。

MonteCarlo仿真方法在实际中能否应用的关键问题之一，是能否有简便、经济和可靠的随机数产生方法。

二．随机数的产生方法

随机数的产生方法主要有三类：第一类是利用专门的随机数表；第二类为物理方法，即用物理装置产生随机数；第三类为数学方法，即用专门的运算程序在计算机上产生随机数。前两种方法由于其固有的缺陷而降低了其使用价值。最后一种数学方法是目前使用较广、开展较快的方法。

但是使用计算机产生随机数时，一旦算法选择不好，可能就会产生随机性并不好的一些伪随机数。所以，使用均匀随机数来进行MonteCarlo模拟，可以通过大量的试验来近似得到概率值。

三．伯努利大数定律

MonteCarlo模拟的理论依据是伯努利大数定律：

即，随机事件的频率是依概率收敛于时间发生概率，将实验次数充分大时，事件A发生的频率具有稳定性。因此我们可以依据伯努利大书定律，再进行MonteCarlo模拟来求一个事件发生的概率，或者说利用求得的概率来求得一些定积分的值.

四．仿真模拟

试验描述

模仿Buffon投针试验，通过均匀随机数产生随机点｛〔x,y〕|，}.求随机点落在单位圆中的频率，假设进行大量的试验，频率值是能够与理论概率值很好的接近。同时可以利用该近似概率值来求圆的面积π.

试验模拟图

图1试验模拟图

概率值收敛

将试验次数不断增加，然后对落在单位圆内点的频率统计，可以发现随着试验次数增加，频率值会逐渐收敛与概率值。

图2频率收敛于概率图

容易发现，我们可以依此来求单位圆的面积。

频率值精度较高的概率

随着试验次数的增加，频率值的精度可以依概率足够小。为了得到频率值精度比所需精度高的概率，将每个投n个点的试验进行m次，再来统计精度高的频率〔此时是再次利用频率来近似概率〕.可以发现：

图3频率精度较高的概率

给定的精度，随着投点个数〔伯努利试验〕的增加，其概率也在逐渐增大并收敛于1；

一旦所需精度提高，想要概率值收敛于1，那么试验的次数就要增加。由图可以发现，当精度为0.1时，大概需要投100个点就可以到达所需的精度，而将精度提升5倍，到达0.02时，需要的投点数将到达2500，也就是说会到达原来试验次数的25倍.所以，一个试验想要使频率值的精度提高，就要牺牲大量的试验次数。理论上，精度提高10倍，试验次数要增大100倍.

对依概率收敛的解释

通过图，我们可以看到，在一定精度的条件下频率与概率相等的概率是可以到达1的。但是，即使近似的概率到达1，还是会出现一些频率与概率误差较大的试验如下列图中的一些突出局部，就是虽然试验次数很大，但频率与概率之间的误差还是会很大

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