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解析函数的孤立奇点类型判断及应用

摘要孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的根底上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。

关键词孤立奇点可去奇点极点本质奇点判断留数计算

前言

在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的根底，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比拟麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此根底上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此局部内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。

在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了根底。在此根底上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践到达真正的结合和统一。

本文通过对已学知识的回忆总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。

正文

一、孤立奇点的定义及类型

〔一〕定义

如果函数在点的某一去心邻域(即除去圆心a的某圆)内解析，点是的奇点，那么称为的一个孤立奇点。

如果为函数的一个孤立奇点，那么必存在正数，使得在点的去心邻域内可展成洛朗级数。

〔二〕孤立奇点的类型

如为的孤立奇点，那么在点的去心邻域内可展成洛朗级数。其中称负幂局部为在点的主要局部。

孤立奇点按函数在的去心邻域内的洛朗展开式中负幂项的个数分类：

1.可去奇点：展开式中不含的负幂项；

2.极点：展开式中含有限项的负幂项；

其中在解析，且；

3.本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；

二、孤立奇点类型的判别方法

〔一〕可去奇点

如果在的洛朗级数中不含的负幂项，那么称孤立奇点是的可去奇点。

以下三个条件是等价的：

〔1〕是的可去奇点在的洛朗级数不含的负幂项；

〔2〕是的可去奇点存在；

〔3〕是的可去奇点在的某去心邻域内有界.

〔二〕极点

如果在的洛朗级数中只有〔〕的有限个负幂项，那么孤立奇点称为极点。假设负幂的最高项为，那么称为级极点。

与之等价的条件是：

是的极点.

零点和极点的关系：不恒等于零的解析函数假设能表示为

，

其中在解析，且，为一正整数，那么称为的级零点.

假设在解析，那么为的级零点的充要条件是

，；.

一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.

假设是的级极点，那么是的级零点.反之也成立.

下面的定理说明了怎样由级零点得到级极点.

定理1假设

〔i〕两个函数和在点解析；

〔ii〕,是的级零点.

那么是的级极点.

定理2设两个函数和在

，和，

那么是商的简单极点且

.

〔三〕本质奇点

如果在的洛朗级数中含有〔〕的无穷多个负幂项，那么孤立奇点称为本质奇点。

与之等价的条件是：

是的本质奇点不存在且不等于.

在本质奇点的邻域内，复变函数具有以下性质：

〔1〕维尔斯特拉斯定理假设是的本质奇点，那么对于任一复数及任给的，任意的，在区域中必存在一点，使得.

推论在任意一个圆环域中，必存在序列，使得.

〔2〕皮卡定理解析函数在本质奇点的任何邻域内，能够取任意一个有限值〔复数〕无穷次，至多有一个值例外.

〔四〕函数在无穷远点的性态

如果在无穷远点的去心邻域内解析，那么称点是的孤立奇点.

作变换〔规定把扩充z平面上的无穷远点映射为扩充t平面上的点〕，把扩充z平面上的邻域映射成扩