非线性方程组计算 .pdfVIP

在科学与工程计算中，经常遇到求解非线性方程组的问题；非线性方程组在收敛速度及收敛

性比线性方程组要差，特别对于非凸的非线性方程组，其求解更是困难。下面简要介绍非线

性方程组的三种解法——牛顿法、拟牛顿法、同伦算法，分析三种解法的适用性，并附Matlab

原程序。

（一）、牛顿迭代法

迭代公式为：x=x-f(x)/f(x);牛顿迭代法是解非线性方程组比较经典的方法，在局部收

k+1kkk

敛点附近是平方收敛的；但其解依赖于初始解，且迭代每一步都要计算f(x)，不仅计算量

k

大而且有时会发生计算困难。

（二）、拟牛顿迭代法

拟牛顿法是为了解决求Jacobi矩阵时带来的困难，现已成为解决非线性方程组和最优化问

题的最有效方法之一。其迭代格式为：

(k+1)(k)-1(k)

x=x-AF(x)

k

kkkkTkkTk

A=A+[(y-As)(y-As)]/[(y-As)s]

k+1kkkk

在一定条件下，计算H的序列是超收敛的，但稳定性较差，有时迭代效果不理想。

（三）、同伦算法

同伦算法基本思想是从容易求解的方程组开始，逐步过渡到原方程组的求解，从而得到问题

的解。非线性方程组为：F(x)=0，其解为X*。

nn

构造泛函G：[0，1]XR-R

G定义为：G（λ，x）=λF(x)+(1-λ)[F(x)-F(x(0))]=F(x)+(λ-1)F(x(0))

(其中：x（0）为任意给的初值，假定为λ函数（λ=0）)

对于λ的方程G（λ，x）=0，

当λ=0时，0=G（0，x）=F(x)-F(x(0))；x（0）是方程的解；

当λ=1时，0=G（1，x）=F(x)；x*是方程的解，即x(1)=x*

基于这个思想我们最后可以得到如下关系式：

-1

x(λ)=-[J(x(λ))]F(x(0))(0=λ=1,对初始值x(0))

J为雅可比矩阵，由上面的式子，对λ在[0，1]上积分，就可得到x*=x(1)

上面的非线性方程组问题就转化为数值积分问题。

附：同伦算法的Matlab程序

%%N为积分部数，h为积分步长，其值视计算精度而定

%%x0为初始值，可任意给定

%%Equfun(x)为非线性方程组表达式（列向量），

%%Jacobfun(x)为雅可比矩阵

N=100;

h=1/N;

x0=[000];

x=x0;

%formatlong

f=Equfun(x);

b=-h*f;

fori=1:N

A=Jacobfun(x);

k1=inv(A)*b;

A=Jacobfun(x+0.5*k1);

k2=inv(A)*b;

A=Jacobfun(x+0.5*k2);

k3=inv(A)*b;

A=Jacobfun(x+0.5*k3);

k4=inv(A)*b;

x=x+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end

disp(TheSolutionis:)

disp(x=);disp(x);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%下面是非线性方程组及其雅可比行列式

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

functiony=Equfun(x)

%nonlinerfunctions

y=[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;

x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+