2019-2020学年新人教A版必修一 单调性与最大小值 学案 .pdfVIP

1．3.1单调性与最大(小)值

第1课时函数的单调性

学习目标1.理解单调区间、单调性等概念；2.会划分函数的单调区间，判断单调性；3.会

用定义证明函数的单调性．

知识点一函数单调性

22

思考1画出函数f(x)＝x、f(x)＝x的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x的图象的升降情况如何？

答案两函数的图象如下：

2

函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右

侧是上升的．

一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函

数，该区间称为增区间．反之则为减函数，相应区间称为减区间．

思考2用图象在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义

刻画单调性？

答案因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的．

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x，x，当xx时，都有f(x)f(x)，

121212

那么就

说函数f(x)在区间D上是增函数．

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x，x，当xx时，都有f(x)f(x)，

121212

那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

知识点二函数的单调区间

1

2

思考我们已经知道f(x)＝x的减区间为(－∞，0]，f(x)＝的减区间为(－∞，0)，这两个减

x

区间能不能交换？

1

2

答案f(x)＝x的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，

x

1

0]，因为0不属于f(x)＝的定义域．

x

一般地，有下列常识：

(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的

端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

(2)单调区间D⊆定义域I.

(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

类型一求单调区间并判断单调性

例1(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根

据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

2

(2)写出y＝x－3|x|＋2的单调区间．

解(1)y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，

[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．

2



x＋3x＋2，x0，



(2)由f(x)＝画出草图：

2



x－3x＋2，x≥0，



3333

∴f(x)在(－∞，－]，[0，]上递减，在[－，0]，[，＋∞)上递增．

2