2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册 .pdfVIP

2019新教材北师大版数学必修第二册

第五章知识点清单

目录

第五章复数

§1复数的概念及其几何意义

§2复数的四则运算

§3复数的三角表示

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第五章复数

§1复数的概念及其几何意义

一、复数的有关概念

2

1.我们通过定义i=-1引进一个新数i，来扩充数的范围，其中i叫作虚数单位.

形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其

中a称为复数z的实部，记作Rez，b称为复数z的虚部，记作Imz.

二、复数的分类

1.根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：

()

实数b=0

()

复数a+bi(a，b∈R){纯虚数a=0

虚数(b≠0){

非纯虚数(a≠0)

2.全体复数构成的集合称为复数集，记作C.显然R⫋C.

3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：

三、复数相等

1.两个复数a+bi与c+di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，

即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.

2.注意：两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能

比较大小，只能说相等或不相等.

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四、复数的几何意义

1.复平面

通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚

轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，

即复数z=a+bi  复平面内的点Z(a，b).

(2)设复平面内的点Z(a，b)表示的复数为z=a+bi(a，b∈R)，连接OZ(O为坐标原点)，

⃗⃗⃗⃗⃗

则复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a，b)也是一一对应的，

⃗⃗⃗⃗⃗

即复数z=a+bi  平面向量OZ.

3.复数的模

⃗⃗⃗⃗⃗

(1)定义：向量OZ的模称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a+bi|.由向量模的定

义可知，|z|=|a+bi|=2+b2.

√a

⃗⃗⃗⃗⃗

(2)几何意义：|z|=|OZ|，即点Z(a，b)到原点O的距离.

4.共轭复数

若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.

复数z的共轭复数用z表示.当z=a+bi(a，b∈R)时，z=a-bi.显然，|z|=|z|；z=a+bi(a，

b∈R)的虚部b=0⇔z=z.

五、对复数概念的理解

1.判断一个实部或虚部含有参数的复数在什么情况下分别是实数、虚数、纯虚数，首

先要保证参数的取值使复数有意义，然后根据复数分类为实数、虚数、纯虚数的充要

条件求解.设复数z=a+bi(a，b∈R)，则

(1)当且仅当b=0时，z为实数；

(2)当且仅当a=b=0时，z为实数0；

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(3)当