2025年高中数学人教A版必修1同步复习资料 专题3.7 函数的应用（一）-重难点题型精讲（学生版）.pdfVIP

专题3.7函数的应用（一）-重难点题型精讲

1．实际问题中函数建模的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果

要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

2．一次函数模型的应用

一次函数模型：f(x)kx+b(k,b为常数，k≠0).

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

3．二次函数模型的应用

二次函数模型：f(x)+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值

问题常用到二次函数模型.

4．幂函数模型的应用

幂函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.

5．分段函数模型的应用

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有

广泛的应用.

6．“对勾”函数模型的应用

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：yax+(a0,b0)，当x0时，

在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.

【题型1一次函数模型的应用】

【方法点拨】

在应用一次函数的性质及图象解题时，应注意一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次

项系数为负）两种情况.

【例1】（2021秋•通州区期中）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示

（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）

不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，

实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）

A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）

C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）

D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

【变式1-1】（2022•曲靖模拟）某大型家电商场，在一周内，计划销售A、B两种电器，已知这两种电器每

台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货B的台数不高于A的台数的2倍，且进货B至少2台，

而销售A、B的售价分别为12000元/台和12500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A、B的总资金

为6万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售A、B电器的总利润（利润＝售价﹣进价）

的最大值为（）

A．1.2万元B．2.8万元C．1.6万元D．1.4万元

【变式1-2】某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x+30000．而出厂价格

为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）

A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套

【变式1-3】（2021秋•岳麓区校级月考）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产，

其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需

要材料费和劳务费共0.8元，设该医院每月所需口罩n（n∈N*）个，则自己生产口罩比外购口罩较合算

的充要条件是（）

A．n＞800B．n＞5000C．n＜800D．n＜5000

【题型2二次函数模型的应用】

【方法点拨】

在应用二次函数解决实际问题时，不能简单套用顶点坐标公式，因为抛物线的顶点纵坐标不一定是实际问

题的最值，一定要注意自变量的取值范围，特别注意隐含条件，如：月份、天、周、商品件数等应为正整

数.

【例2】（2021秋•新乡期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10