2025年高中数学人教A版必修1同步复习资料 专题4.5 对数-重难点题型精讲（教师版）.pdfVIP

专题4.5对数-重难点题型精讲

1．对数的定义、性质与对数恒等式

(1)对数的定义：一般地，如果N(a0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x，

其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)对数的性质：

①0，1(a0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：N(N0,a0,且a≠1).

(3)对数与指数的关系：

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a0，且a≠1时，Nx.

用图表示为：

2．常用对数与自然对数

3．对数的运算性质

如果a0，且a≠1，M0,N0,n∈R，那么我们有：

4．对数的换底公式及其推论

(1)换底公式：设a0，且a≠1，c0，且c≠1，b0，则.

(2)换底公式的推论：

①1(a0,且a≠1,b0,且b≠1)；

②(a0,且a≠1,b0,且b≠1,c0,且c≠1,d0)；

③(a0,且a≠1,b0,m≠0,n∈R).

5．对数的实际应用

在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数

学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.

【题型1对数的运算性质的应用】

【方法点拨】

对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：

①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数

式；

②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).

2

【例1】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值3（）

lg4+2lg5+log8+8=

2

．．．．

A8B9C10D1

【解题思路】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.

【解答过程】因为2，

lg4+2lg5=lg4+lg5=lg4+lg25=lg100=2

22

332

log8=log2=3，33

228=2=2=4

2

所以3，

lg4+2lg5+log8+8=2+3+4=9

2

故选：B.

【变式】（天津高考真题）化简(2log3+log3)(log2+log2)的值为（）

1-12022··4839

A．1B．2C．4D．6

【解题思路】