2022-2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义3-2-1 函数的单调性.pdfVIP

函数的单调性与最值

11函数单调性

的概念

(1)增函数和减函数

一般地，设函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的定义域为ᵃ，区间ᵃ∈ᵃ:

,ᵆ∈ᵃ，当ᵆᵆ)ᵅ(ᵆ)，那么就说ᵅ(ᵆ)在区间ᵃ上单调递增(左图).特别地，当函

如果∀ᵆ时，都有ᵅ(ᵆ

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数ᵅ(ᵆ)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

,ᵆ∈ᵃ，当ᵆᵆ()ᵅ(ᵆ)，那么就说ᵅ(ᵆ)在区间ᵃ上单调递减(右图).特别地，当函

如果∀ᵆ时，都有ᵅᵆ

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数ᵅ(ᵆ)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

1

注①ᵆ=在(0,+∞)上单调递减，但它不

ᵆ

是减函数.

②ᵆ,ᵆ的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的ᵆ,ᵆ有三个特征：一是任意性，即任意取ᵆ,ᵆ，

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“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定ᵆᵆ；三

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是同属一个单调区间，三者缺一不可．

()()

【例】若函数ᵅ(ᵆ)的定义域为(0,+∞)且满足ᵅ1ᵅ2ᵅ(3)，则函数ᵅ(ᵆ)在(0,+∞)上为()

A．增函数B．减函数C．先增后减D．不能确定

解析由于函数单调性的定义突出了ᵆ,ᵆ的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为

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判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选ᵃ．1

(2)单调性

如果函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)在区间ᵃ上是增函数或减函数，那么就说函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)在这一区间具有(严格的)单调性．区

间ᵃ叫做函数ᵆ=ᵅ(ᵆ)的单调区间．

注①这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.

1,ᵆ为有理数

②有的函数无单调性．如函数ᵆ={，它的定义域是(−∞,+∞)，但无单调性可言．

0,ᵆ为无理数

2−2ᵆ−3的单调性.

【例】说下函数ᵆ=ᵆ

2−2ᵆ−3在整个定义域(−∞,+∞)上不具有单调性，但是在(−∞,1]上是减函数，在

解析函数ᵆ=ᵆ

(1,+∞)上是增函数；【练】函数ᵆ=1的单调递减区间是().

ᵆ

A．[0,+∞)B．(−∞,0)C．(−∞,0)和(0,+∞)D．(−∞,0)∪(0,+∞)

1()()

解析ᵆ=的减区间是0,+∞,(−∞,0)，不是0,+∞∪(−∞,0).

ᵆ

1

函数ᵆ=在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上也是减函数，

ᵆ

但不能说函数ᵆ=1(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数．

ᵆ