2023届高考数学专项练习培优专题 2 等和线与极化恒等式含答案 .pdfVIP

2023届高考数学专项练习培优专

题2等和线与极化恒等式

知识点1三点共线结论

→→

根据平面向量基本定理，如果PA，PB为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内

→→→→→→

的任意向量PC都可以由PA，PB唯一线性表示：PC=xPA＋yPB．特

A

殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y=1，反之如果x＋C

y=1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知

→→→→→

PA，PB为平面内两个不共线的向量，设PC=xPA＋yPB，则A，B，

B

C三点共线的充要条件为x＋y=1．P

知识点2等和线的定义及性质

以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平

面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上

的情况．

如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设

→→→

PC=xPA＋yPB(x，y∈R)．

1．平面向量等和线定义

(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y=0．

(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，

→→→

所以由三点共线结论可知，若PF=λPA＋μPB(λ，μ∈R)，则λ＋μ=1．由△PAB与△PED相似，

→→PC||PE||PD||→→→→

知必存在一个常数k∈R，使得PC=kPF(其中k===)，则PC=kPF=kλPA＋kμPB．又

PF||P|A|PB||

→→→

PC=xPA＋yPB(x，y∈R)，所以x＋y=kλ＋kμ=k．以上过程可逆．

在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的

向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．

2．平面向量等和线定理

1

→→→→→→

平面内一组基底PA，PB及任一向量PF满足：PF=λPA＋μPB(λ，μ∈R)，若点F在直线

AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ=k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与

直线AB平行的直线称为等和线．

3．平面向量等和线性质

当等和线恰为直线时，；

(1)ABk=1

当等和线在点和直线之间时，，；

(2)PABk∈(01)

当直线在点和等和线之间时，，＋；

(3)ABPk∈(1∞)

当等和线过点时，；

(4)Pk=0

(5)若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．