上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案解析）.docx

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上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，，则.

2．直线的倾斜角是．

3．已知，则.

4．双曲线的渐近线方程是.

5．已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则

6．已知二项式的展开式中的系数为15，则.

7．已知实数、满足，则的最小值为.

8．幂函数中，的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合.

9．数列中，，，若，则.

10．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为立方米.（精确到0.1立方米）

??

11．已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则.

12．若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足的幸运数组（a，b，c）的个数为.

二、单选题

13．给出下列两个命题：：设直线a不在平面上，若直线a与平面不平行，则平面上不存在与a平行的直线；：设l，m，n均为直线，其中m，n在平面上，则“”是“且”的充分不必要条件.则（???）

A．是真命题，是假命题 B．是真命题，是真命题

C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题

14．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则（????）

A．14 B．15 C．16 D．17

15．在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

16．定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（????）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．

A．或 B．或 C．或 D．

三、解答题

17．已知，，

(1)若，求函数，的值域；

(2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.

18．已知四棱锥中，，，，，E是AD上一点，.

(1)若F是PD中点，证明：平面；

(2)若平面，求二面角的大小.

19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示

一次购物量

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

顾客数（人）

x

30

25

y

10

结算时间（分钟/人）

1

1.5

2

2.5

3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数；

(3)若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.

20．如图所示，由椭圆和椭圆组合而成的曲线，由图形特点，这里称曲线为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”.

(1)已知猫眼曲线满足a，b，t成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；

(2)在曲线中，若，，，斜率为的直线l不经过坐标原点，且l与椭圆相交所得弦的中点为M，与椭圆相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON的斜率之比为定值；

(3)在（2）的条件下，若直线l的斜率，且l与椭圆相切，与椭圆相交于A，B两点，Q为椭圆上异于A，B的任意一点，求面积的最大值.

21．已知，.

(1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值；

(2)若函数在区间上的最大值不大于1，求