6.2.4 向量的数量积-高一数学考点讲解练(人教A版2019必修第二册).pdf

6.2.4向量的数量积

考点讲解

考点1：平面向量的数量积运算

1．向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

（1）a·e＝e·a＝|a|cosθ.

（2）a⊥b⊥a·b＝0.

（3）当a与b同向时，a·b＝a||b||；当a与b反向时，a·b＝－a||b||.

2

特别地，a·a＝a||或a||＝a·a.

（4）a·b||≤|a||b|.

2．向量数量积的运算律

（1）a·b＝b·a.

（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

【例1】（1）已知a||＝6，b||＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．

→→

（2）如图，在⊥ABCD中，AB||＝4，AD||＝3，⊥DAB＝60°，求：

→→→→

⊥ADBC·；⊥ABDA·.

【解析】(1)(a＋2b)·(a＋3b)

＝a·a＋5a·b＋6b·b

22

＝a||＋5a·b＋6|b|

22

＝a||＋5|a||b|cos60°＋6|b|

22

＝6＋5×6×4×cos60°＋6×4＝192.

→→

(2)⊥因为AD⊥BC，且方向相同，

→→

所以AD与BC的夹角是0°，

→→→→

所以ADBC·＝AD|||BC|·cos0°＝3×3×1＝9.

→→

⊥因为AB与AD的夹角为60°，

→→

所以AB与DA的夹角为120°，

→→→→

所以ABDA·＝AB|||DA|·cos120°

1







＝4×3×＝－6.

2



【方法技巧】求平面向量数量积的步骤

（1）求a与b的夹角θ，θ⊥[0，π]．

（2）分别求a|和|b||.

（3）求数量积，即a·b＝a|||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连

接，也不能省略．

【针对训练】

1．（1）已知a||＝2，b||＝3，a与b的夹角θ为60°，求：⊥ab·；⊥(2a－b)·(a＋3b)．

→→→

（2）设正三角形ABC的边长为2，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求ab·＋b·c＋ca·.

【解析】(1)⊥ab·＝a|||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.

⊥(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5ab·－3b2

2222

＝2|a|＋5ab·－3|b|＝2×2＋5×3－3×3＝－4.

(2)⊥|a|＝b||＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，

⊥ab·＋b·c＋ca·＝2×2×cos120°×3＝－3.

考点2：与向量模有关的问题

【例2】（1）已知向量a，b的夹角为60°，a||＝2，b||＝1