北京市北京大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷（word版，含答案）.docx

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北京市北京大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考

数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是(????)

A. B. C. D.

2.已知直线：，：，“”是“”的(????)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是(????)

A.恰好两件正品与恰好四件正品 B.至少三件正品与全部正品

C.至少一件正品与全部次品 D.至少一件正品与至少一件次品

4.如果满足，，的有且只有一个，那么实数b的取值范围是(????)

A. B. C. D.

5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于(????)

A.

B.

C.

D.

6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过AC，BC，，的四等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为(????)

A. B. C. D.

7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则值不可能是(????)

A.

B.

C.0

D.1

8.在棱长为2的正方体中，E是CD的中点，F是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为(????)

A. B. C. D.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是(????)

A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则m的值为5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17

D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16

10.下列结论正确的是(????)

A.过点作圆的切线，则切线方程为

B.已知，O为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交

C.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为

D.若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是

11.如图，正方体的棱长为3，点E，F分别在，上，，动点M在侧面内包含边界运动，且满足直线平面，则(????)

A.过，E，F的平面截正方体所得截面为等腰梯形

B.三棱锥的体积为定值

C.动点M所形成轨迹的长度为

D.过B，E，M的平面截正方体所得截面面积的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为，，，若甲、乙、丙各投篮一次三人投篮互不影响，则至多有一人命中的概率为______.

13.过的直线l被曲线所截得的线段长度为，则直线l的方程为______.

14.在梯形ABCD中，，，，梯形ABCD外接圆圆心为O，圆上有一个动点P，的取值范围是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分

如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，，，E为PD中点，F为PB中点，M为CE中点.

求证：平面平面PAB；

求证：平面

16.本小题15分

某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据满分100分，成绩均为不低于40分的整数分成六段：…，，并作出如图所示的频率分布直方图.

求频率分布直方图中a的值.

求样本数据的第62百分位数.

已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是求这两组数据的总平均数和总方差

17.本小题15分

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知

求C；

若且，求的外接圆半径.

18.本小题17分

如图，四棱锥P―中，底面ABCD是矩形，，，且平面平面、F分别是AB、CD的中点

求证：是直角三角形；

求四棱锥P―体积的最大值；

求平面PEF与平面PBC的夹角余弦值的范围.

19.本小题17分

已知圆C与直线相切于点，且圆心C在x轴的正半轴上.

求圆C的方程；

过点作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点，直线BN和直线OM交于点证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.

参考答案

1.【答案】B?

【解析】解：由，

则，

又，

则，

则，

又，