福建省福州第一中学2024-2025学年高二上学期第一学段模块考试数学试卷（解析版）.docxVIP

福建省福州第一中学2024-2025学年高二上学期第一学段模块考试数学试卷

（完卷120分钟满分150分）

（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若直线与直线垂直.则（）

A.1 B. C.0 D.0或

【答案】D

【解析】

【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得.

由直线与直线垂直，得，

所以或.

故选：D

2.已知向量，，，若，，共面，则（）

A.4 B.2 C.3 D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解.

因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，

即，即，解得.

故选：D

3.直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程.

联立方程组解得，即交点为，

，∴，∴，即.

故选：B

4.已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（）

A.5 B.6 C.9 D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出的值即可.

因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆，

所以，解得，

故选：C.

5.棱长均为2的正三棱柱中，顶点到平面的距离是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正三棱柱的结构特点建立合适空间直角坐标系，先求解出平面的一个法向量，然后根据求得结果.

取中点，根据正三棱柱的几何特征，以为原点，分别以过平行于方向为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如下图所示，

因为正三棱柱的棱长均为，所以，

所以，

设平面的一个法向量为，

所以，所以，

取，则，所以，

设到平面的距离为，且，

所以，

故选：A.

6.若实数x，y满足，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意知点在圆上，则点到直线的距离为，得，从而根据圆的几何性质可求范围.

设直线的方程为，由得，

由题意知点在圆上，故点到直线的距离为，则，

易知的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，

所以，即，

所以，即，

故选：C.

7.已知是圆上一点，是的重心，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设出坐标，利用相关点法先求解出点的轨迹方程，然后化简并结合的范围求解出的取值范围.

设，

因为是的重心，所以，所以，

又因，所以，即，

所以点的轨迹是圆心为0,2且半径为的圆，

所以

，

又因为，所以，所以，

所以的取值范围是，

故选：D.

8.三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解

由题意可得，因为为等边三角形，所以，

又，且

所以，所以,

取的中点，易得,又

所以平面，又平面，所以平面平面，

建立如图所示空间直角坐标系，

则，，D0,1,0，

令，所以，

因为，所以，所以，

所以，

因为直线AC与BD所成角为，所以，

解得，即，

如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心，

设点A在平面内的投影为，作，

所以,

所以在中，

,,

所以在中，，解得，

所以，三棱锥外接球表面积为，

故选：A

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；

2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解；

3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长．

4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．

5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正方体，则（）

A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为

C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面ABCD所成的角为

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

如图，连接、，因为，所以直线与所