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2024年研究生考试考研数学(三303)自测试卷(答案在后面)
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=3x3
A.1
B.5
C.7
D.9
2、设fx=x
A.?
B.1
C.0
D.不存在
3、设函数fx=x
A.3
B.6
C.9
D.12
4、设fx=ln
A、1
B、1
C、1
D、1
5、设函数fx=lnx2
A.a=1
B.a=2
C.a=1
D.a≠1
6、设函数fx=ex?lnx
A.f
B.f
C.f
D.f
7、设函数fx=x
0
2
4
8
8、已知函数fx=e
A.在0,1
B.在1,+
C.函数的导数f
D.函数的导数f
9、设函数fx=1x?ex
A.0B.1C.2D.3
10、设函数fx=x3?
A.3
B.2
C.1
D.-1
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
1、设函数fx=ln
2、设函数fx=x3?3
3、若函数fx=1x2?3x+2的定义域为Df，则Df
4、设函数fx=2x
5、设函数fx=1
6、设函数fx=1x2+1，则
三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）
第一题
已知函数fx=2?sinxe
第二题
题目背景：设函数fx在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=fb=0
解题思路：
此题可以利用罗尔定理（Rolle’sTheorem）来解决。罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它指出如果一个函数在一个闭区间上连续，在开区间内可导，并且在这个区间的两个端点处取相同的值，那么至少存在一个点在这个开区间内，使得该点的导数值为0。
根据题目条件，我们有：
1.函数fx在a
2.函数fx在a
3.fa
4.对于所有的x∈a,
这些条件正好符合罗尔定理的应用前提。因此，根据罗尔定理，我们可以断定，在开区间a,b内至少存在一个点ξ，使得
第三题
一、证明题
已知函数fx
（1）求函数fx的导数f
（2）证明：当x0时，
第四题
考虑函数fx=ln
（1）证明：函数fx在区间1
（2）估计零点的位置，使得精度为0.01。
（3）计算函数fx
第五题
设函数fx=x
（1）求fx
（2）求fx的导数f
（3）判断fx在?
第六题
题目背景：
设函数fx在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=
解题思路：
本题考查的是罗尔定理的应用。根据题目条件，我们知道fx满足罗尔定理的所有前提条件，即fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，并且fa
解题步骤：
为了使用罗尔定理，我们可以考虑构造一个新的函数gx=e
1.gx在a,b上连续，因为f
2.gx在a,b内可导，因为f
3.ga=e
因此，gx满足罗尔定理的所有条件，这意味着存在c∈a,b
g
令g′
e
由于eλc
λ
这就完成了我们需要证明的结论。
第七题
已知函数fx=e
2024年研究生考试考研数学(三303)自测试卷与参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、设函数fx=3x3
A.1
B.5
C.7
D.9
答案：D
解析：首先对给定的函数fx=3x3?2x+4求导，得到f′x=9x2?
2、设fx=x
A.?
B.1
C.0
D.不存在
答案：A
解析：
首先计算f0
f
接下来，我们求fx的导数f
f
将f′x简化，注意到当
f
由f′x的表达式可以看出，在x=13时f
进一步，我们检查这个驻点是否是极值点。由于x=13是驻点，而且此点的导数左右两边异号（f′13??
现在求f1
f
所以fx在x=0
3、设函数fx=x
A.3
B.6
C.9
D.12
答案：B
解析：首先，对函数fx
f
因为x?3为fx的分母，当x
对fx
f
将x=3代入
f
所以，f′3的值为
4、设fx=ln
A、1
B、1
C、1
D、1
答案：C
解析：首先对函数fx=lnx+
f
化简得：
f
所以正确答案是C。
5、设函数fx=lnx2
A.a=1
B.a=2
C.a=1
D.a≠1
答案：B
解析：
首先，根据导数的定义，f′x表示fx
由fx=ln
f
现在，计算f′
f
所以a=
接下来，计算f′
f
所以b=
6、设函数fx=ex?lnx
A.f
B.f
C.f
D.f
答案：A
解析：
首先求fx的一阶导数f
接着求fx的二阶导数f
f″x=
选项A与计算结果一致，因此答案为A。
7、设函数fx=x
0
2
4
8
答案：C
解析：首先，求出函数的一阶导数f′
令f′x=0，解得
然后，计算导数为0的点和区间的端点x=
f?1=?1
因此，在区间?1,3上，函数的最大值为4
正确答案应为2，但根据题意和计算，正确区间上的最大值应为C选项中
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