人教A版(2019)高中数学必修第一册4.4.1对数函数的概念教案 .pdfVIP

4.4.1对数函数的概念

教学目标：

通过具有现实背景的具体实例，经历数学抽象，理解对数函数的概念，了解对数函数的

实际意义．

教学重点：对数函数的概念，包括定义、底数a的取值范围、定义域．

教学难点：由指数函数（a＞0，且a≠1），能想到x也是y的函数，总结归纳出对

数函数的概念．

教学过程：

引导语：在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对

这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对蕴含的规律作进一步的研究．

1．形成定义

问题1：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时

间x的变化而衰减的规律是函数（x≥0）．进一步地，死亡时间x是碳14

的含量y的函数吗？

追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该怎样进行判断呢？

师生活动：教师引导学生先回忆函数的定义，然后确定判断方法．

函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种

确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合

A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．

所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y∈（0，

1]，是否都有唯一确定的x与其对应．

追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图1，观

察（x≥0）的图象，过y轴正半轴上任意一点（0，y0）（0＜y0≤1）作x

轴的平行线，与（x≥0）的图象有几个交点？这说明对任意一个y∈（0，

1]，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？

师生活动：按照追问1确定的办法，先由学生分析，之后教师用软件进行演示，直观呈

现对任意一个y∈（0，1]，都有唯一确定的x与其对应．

根据函数的定义，可知能将x看成是y的函数．

追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？

师生活动：学生应该有足够能力解决此问题．通过指数与对数的运算关系，可以将

这种对应关系，改写为．习惯上用x表示自变量，用y表

示函数值，于是就得到函数，x∈（0，1]，刻画时间y随碳14含量x的衰

减而变化的规律．

设计意图：通过再次分析4.2.1的问题2，并与指数函数进行比较，形成对比，从另外

的角度刻画其中蕴含的规律，引出用函数的方式描述问题，为抽象得到对数函数做准备．

问题2：对于一般的指数函数（a＞0，且a≠1），根据指数与对数的运算关系，

转换成（a＞0，且a≠1），能否将x看成是y的函数？

师生活动：利用解决问题1的经验，先由学生解答这个问题，之后师生一起完善．

教师讲授：通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将（a＞0，

且a≠1）改写为：（a＞0，且a≠1）．这就是对数函数．

追问1：通过与指数函数对比，函数的定义域是什么？

师生活动：根据指数函数的定义可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是（0，＋

∞）．于是就得到了：

定义：一般地，函数（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，

定义域是（0，＋∞）．

设计意图：通过从特殊到一般的过程，抽象出对数函数的基本形式，得出对数函数的概

念．并在与指数函数对比的基础上，建立关联，得出对数函数的定义域．

2．应用定义

例1求下列函数的定义域：

追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？

师生活动：教师利用追问引导学生，一切从定义