《数学分析专题》 贾高 专题习题解答(汇总)-1.pdf

(此解答由贾高、刘晓俊、黄晨提供。)

习题1参考答案

1.求下列极限

(1)解：因为

tan(tanx)−sin(sinx)tan(tanx)−tan(sinx)+tan(sinx)−sin(sinx)

lim=lim，

x→0tanx−sinxx→0tanx−sinx

由于

tan(tanx)−tan(sinx)2

lim=limsec(利用微分中值定理，位于tanx,sinx之间)



x→0tanx−sinxx→0

22

limseclimsec1

x→0→0

和

tan(sinx)−sin(sinx)tan(sinx)−sin(sinx)x3

lim=lim=1

3,

x→0tanx−sinxx→0sinxtanx−sinx

tan(tanx)−sin(sinx)

所以lim=2.

x→0tanx−sinx

(2)解：

1p+2p++npn(p+1)pppp+1

(1+2++n)−n

lim(−)=lim，

n→npp+1n→(p+1)np

(1p

上式分母p+)n单调递增到正无穷，故利用Stolz公式原极限等于：

1p−11A(n)

p(p1)

(p+1)np+(n−1)p+1−np+12p(p+1)n+A(n)2++np−11

lim=lim=lim=

n→(p+1)[np−(n−1)p]n→(p+1)(pnp−1+B(n))n→B(n)2.