微积分 第3版 课件全套 范周田 第1--9章 函数---- 常微分方程.pptx

第一章函数

1.1函数

设D为实数集R的非空子集,如果对任意的xD,

都存在唯一的yR与之对应,则称y是x的一元函数,

可用yf(x)表示,并称x为自变量,y为因变量.

而定义域就是自变量的取值范围,值域就是

因变量的取值范围,分别记为dom(f)与ran(f).

或者简记为

Df和Rf.

例如,令D{1,2,3},D到R的对应关系是:

1对应5;2对应10;3对应15.

这个对应方式满足唯一性的要求,因此是一个函数,

记之为f.

函数f可以描述为:D中的每个数值都对应其自

身的5倍.

把集合D中的每个数值用x表示,即x取值可以是

1,2,3这三个数值中的任意一个.

则函数f可以描述为:x对应5x,记为yf(x)5x.

定义域

Df{1,2,3},值域Rf{5,10,15}.

需要注意的是,f与f(x)是有所不同的:

f是对应关系,即函数,而f(x)则表示函数f在x

处的值.

另外,函数的表示与自变量和因变量所使用的字

母是无关的,也不一定有表达式.

1.2几种具有特殊性质的函数

1.单调函数

设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x1x2D,

都有f(x1)f(x2),则称函数f(x)是单调递增函数;

如果对任意的

x1x2D,都有f(x1)f(x2),

则称函数f(x)是单调递减函数.

单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.

一个函数往往在其定义域中的某些区间上是递增的,

而在另外的区间上是递减的,

这样的区间称为函数的单调区间.

2.奇函数与偶函数

设函数yf(x)的定义域为D,如果对任意xD,

都有xD,我们就说D关于原点对称.

如果函数yf(x)的定义域D关于原点对称,

而且yf(x)的图形关于坐标系原点对称,

就称函数yf(x)为奇函数.

即如果对任意xD,都有f(x)f(x),

则称f(x)为奇函数.

如果函数yf(x)的定义域D关于原点对称,

而且yf(x)的图形关于y轴对称,

就称函数yf(x)为偶函数.

即如果对任意xD,都有f(x)f(x),

则称f(x)为偶函数.

3.周期函数

设yf(x)为函数,如果存在正数T,使得

f(xT)f(x),对定义域中的任意x成立,

就称函数yf(x)为周期函数,T是一个周期.

通常情况下,我们关心周期函数的最小正周期,

简称周期.

也有例外的情况,例如常函数是周期函数,任

意正数都是它的周期,因此它没有最小正周期.

4.有界函数

设f(x)在D上有定义.若存在常数M0,

使得一切xD,有f(x)M

则称f(x)在D上有界,也称f(x)是D上的有界函数;

yy

MM

yf(x)

x0

oxx

DoD

有界yf(x)无界

M

M

六个常见的有界函数:

|