2024-2025学年上海南汇中学高二上学期期中考试数学试卷含详解.docx

上海南汇中学2024学年第一学期期中考试

高二数学

满分：100分完成时间：90分钟命题人：高三数学命题组

一,填空题（每小题3分,共12题,共36分）

1.若,则________.

2.若球的半径为2,则此球的表面积是________.

3.已知而,若,则___________.

4.若直线平面,直线在平面上,则直线与的位置关系是______.

5.如图,以长方体顶点为坐标原点,过的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为,则的坐标为________

6.若正四棱柱的底面边长为2,高为4,则直线与平面所成角的正切值是________

7.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者,则所选3人中男女生都有选法有______种.（用数字作答）

8.在正方体中,二面角的大小为__________.

9.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为_____.

10.从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足）,则这样的“五位凹数”的个数为________.（用数字作答）

11.若,则正整数的个位数为__________．

12.如图,正方体的棱长是,是上的动点,,是上,下两底面上的动点,是中点,,则的最小值是________.

二,选择题（每小题3分,共4题,共12分）

13.已知,表示两个不同的平面,是一条直线且,则是的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

14.已知乘积展开后共有60项,则的值为（）

A.5 B.7 C.10 D.12

15.如图,正六棱柱中,A是一个顶点,是除A外的其余11个顶点,则的不同值的个数为（）

A.5 B.3 C.7 D.4

16.在长方体中,,,是棱的中点,点是线段上的动点,给出以下两个命题：①无论取何值,都存在点,使得,②无论取何值,都不存在点,使得直线平面．则（）．

A.①成立,②成立 B.①成立,②不成立

C.①不成立,②成立 D.①不成立,②不成立

三,解答题（共5题,共52分）

17.3名男生和4名女生站成一排拍照,在下列要求下分别求不同排列方法的数目.

（1）学生甲不最左边.

（2）3名男生必须排一起.

18.已知在的二项展开式中.

（1）若,求展开式中含项的系数.

（2）若展开式含有常数项,求最小的正整数的值.

19.某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,已知圆柱的底面周长为,高为45cm,圆锥的母线长为30cm.

（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）.

（2）现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元？（结果精确到1元）

20.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家,教育家,杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律,它的许多性质与组合数的性质有关,图1为杨辉三角的部分内容,图2为杨辉三角的改写形式

（1）求图2中第11行的各数之和.

（2）从图2第2行开始,取每一行第3个数一直取到第100行的第3个数,求取出的所有数之和.

（3）在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在,试求出这三个数,若不存在,请说明理由.

21.如图,在四棱锥中,已知平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,,,.

（1）证明：.

（2）线段CP上是否存在一点M,使得直线AM垂直平面PCD,若存在,求出线段AM的长,若不存在,说明理由.

（3）点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

上海南汇中学2024学年第一学期期中考试

高二数学

满分：100分完成时间：90分钟命题人：高三数学命题组

一,填空题（每小题3分,共12题,共36分）

1.若,则________.

【答案】

【分析】利用排列数公式额可得出关于的等式,即可解得正整数的值.

【详解】因为,即.

因为且,故.

故答案为：.

2.若球的半径为2,则此球的表面积是________.

【答案】

【分析】利用球的表面积公式直接计算可得结果.

【详解】由球的半径为2,可得此球的表面积是.

故答案为：

3.已知而,若,则___________.

【答案】6

【分析】利用空间向量平行的坐标公式,即可得到结果.

【详解】,

,解得：,.

故答案为：

4.若直线平面,直线在平面上,则直线与的位置关系是______.

【答案】平行或异面

【分析】由直线与直线没有公共点可得结论.

【详解】由直线平面得直线与平面没有公共点.

由直线在平面上