人教版九年级数学上册重点压轴题专项讲练21.3根与系数的关系(压轴题专项讲练)(学生版+解析).docxVIP

专题21.3根与系数的关系

思想方法

思想方法

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

知识点总结

知识点总结

一、一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.

注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

典例分析

典例分析

【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有两个实数根x

（1）若x1+x

（2）当k取哪些整数时，x1，x

（3）当k取哪些有理数时，x1，x

【思路点拨】

（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；

（2）根据根与系数的关系可得若x1+x

（3）显然，当k=?1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形为x2

【解题过程】

解：（1）∵Δ=

∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0都有两个实数根x

∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有两个实数根x

∴x1

分两种情况：①若两根同号，由x1+x2=2

当x1+x2=2

当x1+x2=?2

②若两根异号，由x1+x

即x1

∴?2

解得：k=1，

综上，k的值为1或±2

（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1?2k=0有两个实数根x

∴x1

若x1，x

则x1

∴整数k=±1,±2，

当k=±2时，x1

当k=1时，此时方程为x2

当k=?1时，此时方程为?x2+2x+3=0

综上，当k取?1时，x1，x

（3）显然，当k=?1时，符合题意；

当k为有理数时，由于x1

∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，

则方程kx2+2x+1?2k=0

配方得：x+m2

即x=?m±m

当m=2即k=12时，方程的两根为

当m≠2时，m2?m+2=(m?

综上，k=?1或12

学霸必刷

学霸必刷

1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1x12

A．12x31 B．?4x

2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px?3p?2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足

A．0 B．?34 C．?1

3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2?2x+a2+b2

①m·n＞0；②m0，n0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程x+12+a

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2?8cx?9d=0的解，c、d是方程x2?8ax?9b=0的解，则

5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求a+b

6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成ax+?2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12?2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x

7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy

8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x?5=0的两根分别为

（1）求1x

（2）求3x

9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2

（1）求n的取值范围；

（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．

10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2

（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=?2，求m的值；

（2）当m=1，2，3，???，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，???，α2024

11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2

（1）直接写出m的取值范围

（2）若满足1α+1

（3）若α2，求证：β2；

12．（22-23九年级·浙江·自主招