人教A版数学(选择性必修一讲义)第08讲拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(学生版+解析).docxVIP

第08讲拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法

(含探索性问题）

一、知识点归纳

知识点一：直线与平面所成角

1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.

注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.

如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.

2、直线和平面所成角：（有三种情况）

（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；

（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；

（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.

结论：直线与平面所成角的范围为.

3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：

①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；

②连接斜足与垂足；

③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.

4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）

①利用等体积法求垂线段的长；

②

5、利用向量法求线面角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有

①

②.（注意此公式中最后的形式是：）

二、题型精讲

题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）

【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）在长方体中，，则与平面所成的正弦值为（????）

A． B． C． D．

【典例2】（2022秋·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为__________.

【典例3】（2022春·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，，分别为，的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求点到平面的距离；

(3)若，求直线与平面所成角的余弦值．

【典例4】（2022春·安徽滁州·高一统考期末）如图，平行六面体的棱长均相等，，点分别是棱的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与底面所成角的正弦值．

【变式1】（2022春·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）如图，在三棱锥中，底面，，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值是________．

??

【变式2】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，为线段的中点，.

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）

【典例1】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

【典例2】（2023秋·山东德州·高二统考期末）如图，已知直角梯形，，，，，四边形为正方形，且平面⊥平面．

(1)求证：⊥平面；

(2)点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【典例3】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，平面，．

??

(1)求证：平面平面；

(2)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【变式1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是棱上靠近点的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（????）．

??

A． B． C． D．

【变式2】（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为棱上一点.

??

(1)若为的中点，证明：平面；

(2)若，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.

【变式3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）在正四棱柱中，，，在线段上，且.

??

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

题型03易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值

（忽视最后正弦转余弦）

【典例1】（2023·高二单元测试）已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【典例2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为__________.

【典例3】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.

（1）证明：；

（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.

【变式1】（2023·全国·高三对口高考）正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2023春·高二课时练习）若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______.

【变式3】（2023·福